Lösung zur Frühstückspause

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Ein Eckpunkt des Quadrates teilt die Hypotenuse in die Abschnitte[^1] u und v.

Man zeige, dass gilt:

$$q^2 = \frac{\left( uv\right) ^2}{u^2+v^2}$$

Jetzt sitz ich schon 5 Minuten an der Aufgabe und hab’s immer noch nicht. Ich brauch erstmal eine Pause von der Frühstückspause.

Jetzt aber Schluss mit Pause!

Wir erinnern uns:

$$q = \frac{ab}{a + b}$$

Pythagoras rausgekramt:

$$\begin{align} u^2 & = \left( a - q \right)^2 +q^2
& = a^2 - 2aq + 2q^2
& = a^2 - 2a \frac{ab}{a+b} + 2 \frac{a^2 b^2}{\left( a + b \right)^2}
& = \frac{a^2 \left( a + b \right)^2}{\left( a + b \right)^2} - \frac{2a^2b \left( a + b \right)}{\left( a + b \right)^2} + \frac{2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}
& = \frac{a^4 + 2a^3b + a^2b^2 - 2a^3b - 2a^2b^2 + 2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}
& = \frac{a^4 + a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}
& = \frac{a^2 \left(a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$

Analog:

$$v^2 = \frac{b^2 \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}$$

Mit

$$\begin{align}u^2 + v^2 & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right) \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}
& = \frac{\left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$

ergibt sich

$$\begin{align}\frac{u^2v^2}{u^2 + v^2} & = \frac{a^2b^2 \left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^4} \cdot \frac{\left( a + b \right)^2}{\left( a^2 + b^2 \right)^2}
& = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}
& = q^2 \end{align}$$

Jetzt sagt nicht, dass das auch einfacher ohne ellenlange Rechung geht!

LLAP 🖖