Mathematik zum Wochenende

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Geht das auch ohne Kenntnis von q?

Ja. Und das ist dann auch einfacher: geometrisch.

Und auch nicht geometrisch.

Der auf der Hypotenuse liegende Eckpunkt des Quadrates teilt diese in zwei Abschnitte u und v, der an A liegende Hypotenusenabschnitt sei u.

Wir zeigen, dass die Fläche $$A_R$$ der beiden kleinen Dreiecke größer oder gleich der Quadratfläche ist.

Es gilt

$$\begin {align} A_R & = \frac{1}{2}qu \sin \beta + \frac{1}{2}qv \sin \alpha\
& = \frac{1}{2}qu \frac{q}{v} + \frac{1}{2}qv \frac{q}{u}\
& = \frac{1}{2}q^2 \left( \frac{u}{v} + \frac{v}{u} \right) \end {align}$$

Der Term in der Klammer ist stets größer oder gleich 2. Wir erinnern uns?

q.e.d.

Bis demnächst
Matthias