Lösung zur Frühstückspause

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

$$\frac{u}{v} = \frac{a}{b}$$

Falls u der an B grenzende Hypotenusenabschnitt ist.

Wie kriegt man das auch ohne Rechnung (d.h. auch ohne Winkelfunktionen) raus?

Der Punkt Q des Quadrates teilt das Dreieck ABC in zwei Teildreiecke, AQC und QBC.

Betrachtet man AQ und QB als Grundseiten, haben beide Dreiecke dieselbe Höhe h. Es gilt

$$\begin {align} A_{AQC} = \frac{1}{2} vh\
A_{QBC} = \frac{1}{2} uh \end {align} $$

Außerdem lassen sich auch die Seiten a bzw. b als Grundseiten auffassen; dann haben beide Dreiecke die Höhe q. Es gilt:

$$\begin {align} A_{AQC} = \frac{1}{2} bq\
A_{QBC} = \frac{1}{2} aq \end {align} $$

Folglich gilt:

$$\frac{A_{QBC}}{A_{AQC}} = \frac {\frac{1}{2} uh}{\frac{1}{2} vh} = \frac {\frac{1}{2} aq}{\frac{1}{2} bq}$$

Kürzen. Fertig.

Bis demnächst
Matthias