@@Matthias Apsel
42a Man zeige, dass
ab+ba≥2
Der algebraische Weg sollte offensichtlich sein. Es geht aber auch hier geometrisch, Strahlensatz reicht.
O.B.d.A. a ≥ b. Ich betrachte den Fall a ≥ b > 1:
Die Punkte A und B liegen auf verschiedenen Schenkeln eines Winkels, so dass die Längen OA = a und OB = b sind. Die Punkte E und F sind jeweils eine Längeneinheit vom Scheitel entfernt: OE = OF = 1.
Die Parallele zu AB durch E schneide den anderen Schenkel in Q, die Parallele zu AB durch F schneide den anderen Schenkel in P.
Für a > b liegt P zwischen E und A und Q zwischen O und F. Die Längen seien EP = p und QF = q.
Für a = b fällt P mit E und Q mit F zusammen, d.h. p = q = 0.
Nach Strahlensatz gilt:
OPOF=OAOB, also OP1=ab
und
OQOE=OBOA, also OQ1=ba
Außerdem:
EPQF=OAOB, also pq=ab, d.h. wegen a ≥ b gilt p ≥ q, also p − q ≥ 0.
Nun ist
OP + OQ = OE + EP + OF − QF, also ab+ba=1+p+1−q=2+p−q≥2+0.
Entsprechend wären noch die Fälle a ≥ 1 ≥ b und 1 > a ≥ b zu betrachten.
LLAP 🖖
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