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Camping_RIDERAloha ;)
sehr elegante Lösung! (Und sie kommt ohne die nicht angemessene Diskretisierung der Zeit aus.)
Ich habe die Zeit teilweise diskretisiert. Hier mal noch meine Lösung (die umständlichste von Allen, nehme ich an).
Sei die Wahrscheinlichkeit, zu einer bestimmten Minute einzutreffen, für beide Partner über die gesamte Stunde hinweg gleichverteilt.
Fall 1 - Paula trifft in den ersten 45 Minuten zuerst oder zeitgleich ein
Paula trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$ innerhalb der ersten 45 Minuten (also zwischen 21:00:00 und 21:44:59) ein. Sie wartet dann jeweils 15 Minuten auf ihren Liebsten und geht dann wieder. Die Wahrscheinlichkeit, dass Paul innerhalb von irgendwelchen 15 Minuten eintrifft, ist $$\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$$ und damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Paula und Paul treffen genau $$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16} = \frac{45}{240}$$, falls Paula vor 21:45 erscheint.
Fall 2 - Paula trifft in den letzten 15 Minuten zuerst ein
Bleibt noch zu betrachten was passiert, wenn Paula nach 21:45 (also zwischen 21:45:00 und 21:59:59) erscheint. Sei $$x \in [1,15]$$ die Anzahl der Minuten, die nach 21:45 bis zu Paulas Eintreffen noch begonnen haben. Dann hat Paul noch $$15-x$$ Minuten mit der Möglichkeit, zu erscheinen (wenn wir annehmen, dass Paul frühestens in der Minute nach Paulas Eintreffen erscheint). Wir bekommen damit dann folgende Wahrscheinlichkeit, dass sich Paula und Paul treffen, wenn Paula nach 21:45 als erste erscheint:
$$ \frac{1}{60} \cdot \sum_{i = 1}^{15} \frac{15-x}{60} = \frac{1}{60 \cdot 60} \cdot \left( 15 \cdot 15 - \sum_{x = 1}^{15} x \right) = \frac{1}{3600} \cdot \left( 15 \cdot 15 - \frac{15 \cdot 16}{2} \right) = \frac{105}{3600} = \frac{7}{240}$$
Fall 3 - Paul trifft in den ersten 45 Minuten zuerst oder zeitgleich ein
Die Überlegungen sind hier exakt analog zu Fall 1, also ergibt sich auch hier eine Aufeinandertreff-Wahrscheinlichkeit von $$\frac{45}{240}$$
Fall 4 - Paul trifft in den letzten 15 Minuten zuerst ein
Die Überlegungen sind hier exakt analog zu Fall 2, also ergibt sich auch hier eine Aufeinandertreff-Wahrscheinlichkeit von $$\frac{7}{240}$$
Fall 5 - Beide treffen innerhalb der letzten 15 Minuten in der selben Minute ein
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide innerhalb einer Minute eintreffen, ist $$\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{60}$$, also über 15 Minuten $$\frac{15}{3600} = \frac{1}{240}$$
Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit, dass beide sich treffen, bei $$ 2 \cdot \frac{45}{240}+ 2 \cdot \frac{7}{240} + \frac{1}{240} = \frac{105}{240} = \frac{7}{16} \approx 44 % $$
bzw. verallgemeinert:
Fall 1 - Paula trifft in den ersten 60-w Minuten zuerst oder zeitgleich ein
Paula trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\frac{60-w}{60}$$ innerhalb der ersten $$60-w$$ Minuten ein. Sie wartet dann jeweils w Minuten auf ihren Liebsten und geht dann wieder. Die Wahrscheinlichkeit, dass Paul innerhalb von irgendwelchen w Minuten eintrifft, ist $$\frac{w}{60}$$ und damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Paula und Paul treffen genau $$\frac{60-w}{60} \cdot \frac{w}{60} = \frac{60w-w^2}{3600}$$, falls Paula spätestens w Minuten vor 22 Uhr erscheint.
Fall 2 - Paula trifft in den letzten w Minuten zuerst ein
Bleibt noch zu betrachten was passiert, wenn Paula in den letzten w Minuten erscheint. Sei $$x \in [1,w]$$ die Anzahl der Minuten, die zwischen w Minuten vor 22 Uhr und bis zu Paulas Eintreffen noch begonnen haben. Dann hat Paul noch $$w-x$$ Minuten mit der Möglichkeit, zu erscheinen (wenn wir annehmen, dass Paul frühestens in der Minute nach Paulas Eintreffen erscheint). Wir bekommen damit dann folgende Wahrscheinlichkeit, dass sich Paula und Paul treffen, wenn Paula frühestens w Minuten vor 22 Uhr als erste erscheint:
$$ \frac{1}{60} \cdot \sum_{x = 1}^{w} \frac{w-x}{60} = \frac{1}{60 \cdot 60} \cdot \left( w^2 - \sum_{x = 1}^{w} x \right) = \frac{1}{3600} \cdot \left( w^2 - \frac{w \cdot (w+1)}{2} \right) = \frac{w^2-w}{7200}$$
Fall 3 - Paul trifft in den ersten 60-w Minuten zuerst oder zeitgleich ein
Analog zu Fall 1.
Fall 4 - Paul trifft in den letzten w Minuten zuerst ein
Analog zu Fall 2.
Fall 5 - Beide treffen innerhalb der letzten w Minuten in der selben Minute ein
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide innerhalb einer Minute eintreffen, ist $$\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{60}$$, also über w Minuten $$\frac{w}{3600}$$
Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit, dass beide sich treffen, bei $$ P = 2 \cdot \frac{60w-w^2}{3600}+ 2 \cdot \frac{w^2-w}{7200} + \frac{w}{3600} = \frac{120w-w^2}{3600} $$
Betrachte jetzt $$P \geq 75%$$:
$$\frac{120w-w^2}{3600} \geq 75%$$
$$120w-w^2 \geq 2700$$
$$ 30 \leq w \leq 90$$
Damit muss die Wartezeit für eine 75%ige Antreffwahrscheinlichkeit mindestens 30 Minuten betragen.
Das zeigt jetzt mal wieder, dass es verdammt viele Wege gibt, ans Ziel zu kommen. Nur sind leider nicht alle davon sinnvoll oder geschickt 😂
Grüße,
RIDER
P.S.: Das fanden meine Prüfer übrigens heute auch. Bestanden hab ich trotzdem - gerade so. Aber immerhin bin ich jetzt auch staatsexaminierter Mathematiker 😂
Matthias Apsel
Gunnar Bittersmann