Mathematik zum langen Wochenende - Lösung

[Der-Dennis]

Hallo zusammen,

so, mal eine erste Lösung:

meine grafische Lösung war identisch mit der von Matthias.

Es gab übrigens wie immer mehrere Lösungswege, vielleicht veröffentlichen ja die Autoren ihre auch.

Da schließe ich mich mal Gunnar an und poste hier auch meine erste Lösung, die ich Matthias schon geschickt hatte, bevor ich auf die grafische Lösung kam. Die war allerdings nicht so schön anschaulich wie die grafische Lösung. Meine „Skizze“:

0 --------------------------- x1 ----------------- x2 ------------- L
               a                         b                  c

Wenn ich annehme, dass die beiden Schnitte an den Stellen $$x_1$$ und $$x_2$$ unabhängig und über die Länge $$L$$ gleichverteilt sind, dann muss lediglich die Dreiecksungleichung $$c \leq a + b$$ erfüllt sein, damit ein Dreieck entsteht. Aufgrund des Kommutativgesetzes, d.h. $$a+b+c=…c+b+a=L$$ ist die Bezeichnung der Variablen hier beliebig austauschbar und entspricht nicht den Längen in der Skizze. $$c$$ bezeichnet die längste Teilstrecke.

Bei einer Streckenlänge $$L$$ muss somit gelten, dass kein Teilabschnitt $$a$$, $$b$$, $$c$$ größer als $$\frac{L}{2}$$ ist. Dabei werden „entartete Dreiecke“, d.h. der Fall wenn $$c=a+b$$ ist, mit eingeschlossen.

Am einfachsten ist es dann, einfach nur ein Teilstück zu betrachten. Sagen wir Teilstück $$a$$ in der Skizze. Wann ist dieses Teilstück größer als $$\frac{L}{2}$$? Genau dann, wenn beide Schnitte in der zweiten Hälfte der Strecke wären, also im Bereich größer $$\frac{L}{2}$$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schnitt die Bedingung erfüllt, ist $$P_1=0.5$$. Für beide Schnitte gilt dann $$P=P_1^2=25%$$.

Neben der beschriebenen grafischen Lösung finde ich auch folgende Lösung sehr elegant bzw. lehrreich:

Der Satz von Viviani besagt, dass die Summe der Abstände eines Punktes $$P$$ von den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks konstant ist.

Man konstruiere daher ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe $$L$$, d.h. der Länge der ursprünglichen Strecke. Verbindet man anschließend die Mittelpunkte aller Seiten miteinander, so ergeben sich vier gleich große Dreiecke innerhalb des ursprünglichen Dreiecks.

Nun schneidet man die Strecke in drei Teile und stellt die sich ergebenden Teilstrecken senkrecht auf die Seitenflächen des gleichseitigen Dreiecks, sodass sie sich in einem Punkt treffen. Anschließend lässt sich zeigen, dass sich nur dann ein Dreieck aus den Teilstrecken ergeben kann, wenn dieser Punkt im mittleren der zuvor definierten vier gleich großen Dreiecke ist.

Da meine mathematischen Erklärungen und insbesondere diese nicht sehr verständlich sind: Ein Bild sagt mehr als tausend Worte ;-)

Danke nochmal für die immer wieder tollen Rätsel!

Gruß
Dennis