Matthias Apsel: Mathematik zum langen Wochenende

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Mathematik zum langen Wochenende

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    Mathematik zum langen Wochenende - Lösung

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Hallo alle,

Eine Strecke wird zufällig in drei Teile geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den Teilstrecken ein Dreieck gebildet werden kann?

Damit alle was zum Raten haben, sollten hier noch keine Lösungswege veröffentlicht werden. Diese am besten per PM an mich senden ("Autor kontaktieren") für registrierte Nutzer. Unregistrierte Nutzer können die Lösung gern per Mail schicken (Briefumschlag im Kopf des Beitrags) oder die Nachricht nach dem Veröffentlichen löschen, sie bleibt dann über die Versionsgeschichte einsehbar.

Ich war übrigens vom Ergebnis überrascht.

Bis demnächst
Matthias

--
Rosen sind rot.
  1. Nachdem ich meine abgebrochenen Finger wieder geflickt habe, konnte ich eine Lösung einreichen. Ich bin auf die ELEGANTE Lösung gespannt. Meine ist es nicht...

    Rolf

    1. Hallo,

      Nachdem ich meine abgebrochenen Finger wieder geflickt habe,

      was ist passiert?

      Ich bin auf die ELEGANTE Lösung gespannt. Meine ist es nicht...

      ich habe eine elegante Lösung eingereicht. Leider wurde sie als flasch verworfen 😟

      Gruß
      Kalk

      1. Hallo Tabellenkalk,

        ich habe eine elegante Lösung eingereicht. Leider wurde sie als flasch verworfen 😟

        Die musst du nur konsequent zu Ende denken.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
        Rosen sind rot.
        1. D.h. mein Rückgriff auf den Bronstein war nicht nötig? Hmmm.

          Rolf

          1. Hallo Rolf b,

            D.h. mein Rückgriff auf den Bronstein war nicht nötig? Hmmm.

            Nein.

            Bis demnächst
            Matthias

            --
            Rosen sind rot.
      2. Hallo,

        ich habe eine elegante Lösung eingereicht. Leider wurde sie als flasch verworfen 😟

        Die etwa so lautete: Der erste Schnitt bewirkt oBdA eine Teilung in ein kurzes und ein langes Teilstück. Wird das kurze nochmal geteilt kann kein Dreieck gebildet werden[1], also läuft es auf die Wahl des richtigen von zwei Stücken hinaus: 50%-Chance wie beim Streichhölzchenziehen.

        Gruß
        Kalk


        1. Leider stellte sich diese Annahme als verwerflich heraus… ↩︎

        1. Hello,

          das war leider auch meine erste Idee ...

          Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt solch eine Idee zuerst? ;-P

          Mann, ist das jetzt peinlich.

          Liebe Grüße
          Tom S.

          --
          Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
          Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
          1. Hallo TS,

            Mann, ist das jetzt peinlich.

            Das muss dir nicht peinlich sein.

            Bis demnächst
            Matthias

            --
            Rosen sind rot.
  2. Hallo,

    Eine Strecke wird zufällig in drei Teile geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den Teilstrecken ein Dreieck gebildet werden kann?

    Habe jetzt mal prophylaktisch 1000 Zollstöcke zersägt und konnte nach dem Neusortieren auch 1000 Dreiecke legen.

    Gruß
    Kalk

    PS: Kann ich mal von jemandem ein Ebay-Konto leihen, um defekte Metermaße loszuwerden?

    Folgende Beiträge verweisen auf diesen Beitrag:

    1. Hallo Tabellenkalk,

      Habe jetzt mal prophylaktisch 1000 Zollstöcke zersägt und konnte nach dem Neusortieren auch 1000 Dreiecke legen.

      Genau aus dem Grund hat mich das Ergebnis überrascht. 😉

      Bis demnächst
      Matthias

      --
      Rosen sind rot.
    2. @@Tabellenkalk

      Eine Strecke wird zufällig in drei Teile geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den Teilstrecken ein Dreieck gebildet werden kann?

      Habe jetzt mal prophylaktisch 1000 Zollstöcke zersägt und konnte nach dem Neusortieren auch 1000 Dreiecke legen.

      Du solltest aber die Dreiecke so gelegt haben, dass die Seiten jedes Dreicks von einundemselbem Zollstock stammen.

      LLAP 🖖

      --
      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
      1. Hallo,

        Du solltest aber die Dreiecke so gelegt haben, dass die Seiten jedes Dreicks von einundemselbem Zollstock stammen.

        Oh, mann, sag das doch vorher! Jetzt muss nochmal 1000 davon zersägen ✂️

        Gruß
        Kalk

        1. @@Tabellenkalk

          Jetzt muss nochmal 1000 davon zersägen ✂️

          Das sollte deine Werbegeschenksammlung doch noch hergeben.

          LLAP 🖖

          --
          “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
          1. Hallo,

            Das sollte deine Werbegeschenksammlung doch noch hergeben.

            Mir fällt grad auf, dass die ja 2m lang sind. Es reichen also 500!

            Gruß
            Kalk

            1. Sie bestehen (üblicherweise) aus je 10 Segmenten und du kannst oBdA auch 20 cm Strecken teilen. Wenn Du sie also vorsichtig an den Gelenken zerlegst, kannst Du noch viel mehr sparen. Du läufst nicht Gefahr, eine Teilstrecke am Gelenk zu knicken und damit ein Dreieck hinzuzaubern, dem das Ei fehlt. Und am Ende kannst Du sie als Schülerlinale verkaufen (musst nur 80% des Bestandes wegen merkwürdiger Beschriftung rabattieren).

              Rolf

              1. @@Rolf b

                Sie bestehen (üblicherweise) aus je 10 Segmenten und du kannst oBdA auch 20 cm Strecken teilen.

                Wenn du den Zollstock in lauter gleich lange Teile zerlegst, kommst du der Lösung der Aufgabe aber auch nicht unbedingt näher. ;-)

                LLAP 🖖

                --
                “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
        2. Hallo Tabellenkalk,

          Oh, mann, sag das doch vorher! Jetzt muss nochmal 1000 davon zersägen ✂️

          #~~ ✂️ ~~

          https://openclipart.org/download/189970/1389256784.svg

          Bis demnächst
          Matthias

          --
          Rosen sind rot.
          1. Hello,

            und wenn das nachher keine 1.-April-Frage ist, stimmt meine Lösung doch :-P

            Gib mit doch mal einen (verschlüsselten) Hinweis, warum nicht :-)

            Liebe Grüße
            Tom S.

            --
            Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
            Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
            1. Hallo Tom,

              Gib mit doch mal einen (verschlüsselten) Hinweis, warum nicht :-)

              ich bin zwar nicht Matthias, aber das sollte ich auch hinbekommen ;-)

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              R+zE+Zi8AHELOvCUdeSqiCrwkFXArWu6nYrnvHUBX5qj0IgFVCLscEijsMJArABf
              ICxhOq7dD/WFdKIVDX9m94F+JcqEjW7R1I9tzWIeDEloSsioRFreGL2YyhDuXQFG
              jCxU2jYTa4Vz9zfJOWUVdws7mPtckQvUFfVtw1XCzg0Jdptb4hXTctKPrecpYI+B
              we8xJRBvDipXSbzI2/6Qho/mQz90dwsaCy9cwz1RKzNJvQCl6/6BaDfD5YVQdWHI
              VPv0zLnlsHthgCjmMvlkFDzKgm+yCxeiFJQGmIEwYr3wszr05hJZyH44ys/oHmAg
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              dMZstwHEmndnzeE6FfBXO+KS1nEOZPTie2z9GJuNjMYFj+zd6LHzhv1UwkZr7PwV
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              iycp89Djob80Bo/l2k+/HNFeph52BsVxDbgdWcSSko/iei46cySZrLjrtiYk3dO4
              74NzIfSG1RghTLka2B4Po4hUfy1SkW64YOocCtHavznaVW5LUnDLnskPKxDx8J+C
              K7dNtHvd12GJWvq4i/sVXQVgGxPtt0QIlWOA0IDGaJxqRuCCM1XLd0hoKIBXZQEA
              L5kkbyH6h/qP5lCPgAAocis/Dwr0QuYTwUgTS7nyf3ai6l6dsFg+HFDh63E0aE75
              DIuT1c7jmSMQv3v/qGxFow==
              

              Gruß
              Dennis

              1. Habe das mal neugierig durch einen base64-Decoder gejagt, das Ergebnis beginnt mit

                Salted__:SBO2,,ugH…

                Ugh - ganz meine Meinung. Ich kenne mich mit Message-Verschlüsselung nicht aus, bin dafür wohl zu ungefährlich oder naiv - ist das irgend ein PGP Output?

                Rolf

                1. Hallo Rolf,

                  Ugh - ganz meine Meinung. Ich kenne mich mit Message-Verschlüsselung nicht aus, bin dafür wohl zu ungefährlich oder naiv - ist das irgend ein PGP Output?

                  jein. Der Text ist mit AES verschlüsselt, also mit einem symmetrischen Verfahren. Das heißt, dass für das Ver- und Entschlüsseln derselbe Schlüssel verwendet wird. PGP ist asymmetrisch, verwendet also jeweils verschiedene Schlüssel.

                  Ein PGP-Output sieht aber sehr ähnlich wie der hier gepostete aus. Das liegt daran, dass bei PGP oft AES zum Verschlüsseln der Nachricht verwendet wird, weil die asymmetrischen Verfahren normalerweise deutlich langsamer sind. Anschließend wird dann nur der AES-Schlüssel asymmetrisch verschlüsselt.

                  Die Base64-Kodierung, die Du richtigerweise erkannt hast, ist hier übrigens reine Kosmetik und hat keinen Nutzen. Anders wäre das, wenn man eine Nachricht bspw. per Mail senden würde, da hat sowas wie Base64 seine Berechtigung.

                  AES kann man übrigens mit verschiedenen Block- und Schlüssellängen sowie in diversen Betriebsmodi verwenden. Welche Parameter hier verwendet worden sind, weiß ich allerdings nicht. Da das an dieser Stelle ja nur ein kleiner Spaß sein sollte und die Nachricht nicht wichtig ist, hab ich mir die Verschlüsselung einfach gemacht:

                  Die Hexadezimal-Konvertierung ist dafür, dass auch die blödesten Online-Tools mit UTF8-Zeichen klar kommen. Ähnlich ist es mit dem MD5-Hash, weil auch doofe Tools eigentlich mit „Sonderzeichen“ in einem Passwort zurecht kommen müssten.

                  Wichtig, wenn Du oder irgendjemand Interesse an Verschlüsselung hat: Kein Vertrauen in irgendwelche Online-Tools, die die Google-Suche oder was-auch-immer als erstes ausspuckt!. In diesem Fall war das nur ok, weil die Nachricht nicht wirklich geheim sein musste.

                  Gruß
                  Dennis

    3. Hello,

      Habe jetzt mal prophylaktisch 1000 Zollstöcke zersägt und konnte nach dem Neusortieren auch 1000 Dreiecke legen.

      PS: Kann ich mal von jemandem ein Ebay-Konto leihen, um defekte Metermaße loszuwerden?

      Geh mal in die Grundschulen deiner Umgebung. Die freuen sich immer um Hilfsmittel für die Mengenlehre.

      Liebe Grüße
      Tom S.

      --
      Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
      Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
  3. Ohne Mail: Wahrscheinlich kann man aus einer Strecke kein Dreieck machen, auch dann nicht wenn man die Strecke teilt. Eine Strecke wird immer eine Strecke bleiben, über kurz oder lang. Wenn man eine Krümmung will, muss man die Strecke in unendlich viele Punkte teilen. Aber das war ja nicht die Frage.

    Mit freundlichen Grüßen, Freundschaft siecht.

    1. @@pl

      Eine Strecke wird immer eine Strecke bleiben, über kurz oder lang.

      Ja, Strecken sind kurz oder lang; genau darum geht’s in der Aufgabe.

      Wenn man eine Krümmung will

      Nein, um runde Ecken geht’s nicht in der Aufgabe. Das wäre ja Mathe 2.0.

      LLAP 🖖

      --
      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
  4. Hallo alle,

    so, mal eine erste Lösung:

    Es gab übrigens wie immer mehrere Lösungswege, vielleicht veröffentlichen ja die Autoren ihre auch.

    Ich nehme eine Strecke der Länge 1 und lege auf ihr zwei Stellen x und y fest. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x < y. Die gekennzeichnete Punktmenge erfüllt diese Bedingungen.

    Alternativ-Text

    Die Dreiecksseiten sind dann: x, y-x und 1-y. Jede dieser Seiten darf höchstens 1/2 sein. Daraus folgt

    • x < 1/2
    • y > 1/2
    • y-x < 1/2 ⇒ y < x + 1/2

    Anmerkung:

    Wer das mit dem 1/2 nicht sieht oder glaubt, da es ja nur eine obere Schranke für die Dreiecksungleichung ist, der kann auch drei mal die Dreiecksungleichung anwenden.

    • x < y-x + 1-y
    • y-x < x + 1-y
    • 1-y < x + y-x

    Durch Umformung ergeben sich die obigen 3 Ungleichungen.

    Die blau gekennzeichnete Punktmenge erfüllt alle Bedingungen.

    Alternativ-Text

    Das Verhältnis von blauer zu roter Fläche ist 1/4.

    Bis demnächst
    Matthias

    --
    Rosen sind rot.
    1. @@Matthias Apsel

      Es gab übrigens wie immer mehrere Lösungswege, vielleicht veröffentlichen ja die Autoren ihre auch.

      Da werd ich mich mal nicht lumpen lassen.

      Nach dem Teilen der Strecke (deren Länge 1 war) suche ich mir das längte Teil raus. Dessen Länge a ist mindestens 1/3 (ansonsten wäre ja ein anderer Teil länger).

      Damit aus den Teilen ein Dreieck wird, muss die Dreiecksungleichung erfüllt werden. Damit darf kein Teil länger als oder gleich 1/2 sein.

      Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit von a < 1/2 unter der Bedingung 1/3 ≤ a < 1. Mal kurz auf den Zahlenstrahl gekuckt:

      |    |    |====|----|----|----|
      0   1/6  1/3  1/2  2/3  5/6   1
      

      Der mögliche Bereich für a (1/3 ≤ a < 1) ist 4 Teilstrecken (der Länge 1/6) lang; der günstige Bereich (1/3 ≤ a < 1/2) ist 1 Teilstrecke lang. Das Verhältnis der beiden von 1/4 ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

      Oder mit Bayes:

      $$P \left( a < \tfrac{1}{2} , \Big| , \tfrac{1}{3} \le a < 1 \right) = \frac { P \left( \tfrac{1}{3} \le a < \tfrac{1}{2} \right) } { P \left( \tfrac{1}{3} \le a < 1 \right) } = \frac { \tfrac{1}{6} } { \tfrac{2}{3} } = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4}$$

      LLAP 🖖

      --
      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
    2. Also ich denke dass es unendlich viele Lösungen gibt, die erste Teilstrecke zu dimensionieren. Ergo gibt es auch unendlich viele Lösungen dafür, dass nach der Teilung der verbleibenden Strecke die beiden Teilstrecken gleichlang sind -- gibt kein Dreieck. MfG

      1. @@pl

        Also ich denke dass es unendlich viele Lösungen gibt, die erste Teilstrecke zu dimensionieren.

        Richtig, Hoë Hotti.

        Ergo gibt es auch unendlich viele Lösungen dafür, dass nach der Teilung der verbleibenden Strecke die beiden Teilstrecken gleichlang sind

        Ja, aber auf welche Frage soll das die Antwort sein?

        gibt kein Dreieck.

        Häh?

        LLAP 🖖

        --
        “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
        1. Mist, ich hatte einen Denkfehler. Kein Dreieck ergibt sich wenn wir nur zwei Strecken haben. Aber die Aufgabe war es ja, eine Strecke in 3 Teilstrecken zu teilen. MfG

          1. Hello,

            und kein Dreieck ergibt sich auch, wenn eine der Strecken länger/gleich 50% der Gesamtlänge ist. Das dürfte beim ersten Abtrennen mit ~50% wahrscheinlich sein. Nur ungefähr deshalb, weil =50% genaugenommen ein Dreieck schon ausschließt.

            Mit wieviel % Wahrscheinlichkeit kann man nun aber annehmen, dass bei der zweiten Abtrennung (wenn die erste also noch nicht gegriffen hat, <50% ist) wieder eine Strecke >=50% der GESAMTLÄNGE entsteht?

            Das dürfte bei gleichmäßiger Verteilung maximal zu <50% Prozent der Fall sein, wenn die Länge der ersten Abtrennung gegen Null ging und zu 0% der Fall sein, wenn die Länge der ersten Abtrennung gegen 50% ging. Das wären dann im Mittel 25% der zweiten Teilung. Das würde bezogen auf das Gesamtkunstwerk dann 12,5% bedeuten.

            Zu 50% ist die Bildung eines Dreiecks also schon mal ausgeschlossen (aus der ersten Stufe). Die zweite steuert nun noch eine zusätzliche Wahrscheinlichkeit für den Ausschluss dazu. Das Ganze ist eigentlich also ein differenzielles Problem. Grob wurde die Wahrscheinlichkeit für "Es geht nicht" also bei 62,5% liegen.

            Dass es also in 75% der Versuche NICHT geht, halte ich daher für falsch.

            Grob betrachtet müsste es in 37,5% der Fälle klappen.

            Wir könnten das zur Not ja mal empirisch lösen lassen durch einen Computer. Fragt sich nur, ob der uns beim zufällig Teilen nicht bescheißt?

            Liebe Grüße
            Tom S.

            --
            Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
            Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
            1. @@TS

              Dass es also in 75% der Versuche NICHT geht, halte ich daher für falsch. […] Wir könnten das zur Not ja mal empirisch lösen lassen durch einen Computer.

              Warum tust du’s dann nicht?

              Der kann das 10000 Mal in einem Wimpernschlag:

              var x, y, a, b, c, n, H = 0;
              
              for (n = 0; n < 10000; n++)
              {
              	// zwei Zufallszahlen, an denen die Strecke der Länge 1 geteilt wird
              	x = Math.random();
              	y = Math.random();
              	
              	// von 0 bis zur kleineren der beiden ist a
              	// von der kleineren bis zur größeren ist b
              	// von der größeren bis 1 ist c
              	a = Math.min(x, y);
              	b = Math.abs(x - y);
              	c = 1 - Math.max(x, y);
              	
              	// prüfe, ob alle Dreiecksungleichungen erfüllt sind
              	// d.h. ob a, b, c ein Dreieck ergeben
              	// zähle absolute Häufigkeit der sich ergebenden Dreiecke in H
              	if (a + b > c && a + c > b && b + c > a)
              	{
              		H++;
              	}
              }
              
              // gib relative Häufigkeit aus
              console.log(H/n);
              

              Fragt sich nur, ob der uns beim zufällig Teilen nicht bescheißt?

              Wenn du Math.random() nicht traust, implementiere einen anderen Zufallsgenerator!

              LLAP 🖖

              --
              “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
              1. Hello,

                mach ich morgen.

                Denke Du aber bitte daran, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht addiert, sondern multipliziert werden müssen, und das die zweite Wahrscheinlichkeitsstufe von der ersten abhängig ist.

                Woher stammt die Aufgabe? Woher stammt die Lösung?

                Liebe Grüße
                Tom S.

                --
                Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                1. Hallo TS,

                  Denke Du aber bitte daran, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht addiert, sondern multipliziert werden müssen, und das die zweite Wahrscheinlichkeitsstufe von der ersten abhängig ist.

                  Woher stammt die Aufgabe? Woher stammt die Lösung?

                  Langsam wird es peinlich. Für dich.

                  Bis demnächst
                  Matthias

                  --
                  Rosen sind rot.
                  1. Hello,

                    Woher stammt die Aufgabe? Woher stammt die Lösung?

                    Langsam wird es peinlich. Für dich.

                    Seit wann ist nachdenken peinlich? Ist das jetzt nicht eher unverschämt von Dir?

                    Liebe Grüße
                    Tom S.

                    --
                    Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                    Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                    1. @@TS

                      Seit wann ist nachdenken peinlich?

                      Du erwecktest den Anschein, als würdest ohne dies zu tun hier posten.

                      Ist das jetzt nicht eher unverschämt von Dir?

                      Nein. Es ist eher nicht unverschämt.

                      LLAP 🖖

                      --
                      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
                    2. Hallo TS,

                      Seit wann ist nachdenken peinlich?

                      Ich werfe dir nicht vor, die Mathematik oder die Beweise nicht zu verstehen.

                      Und Nachdenken ist niemals peinlich, außer es führt dazu, die Fakten als falsch hinzustellen.

                      Ist das jetzt nicht eher unverschämt von Dir?

                      Ja, es kann so aufgefasst werden, aber dein Beitrag liest sich in etwa so, als wenn ich einem Chinesen erklären würde, dass er die falschen (chinesischen) Schriftzeichen verwendet.

                      Bis demnächst
                      Matthias

                      --
                      Rosen sind rot.
                      1. Hello,

                        jedenfalls kursieren hier Formeln, die eindeutig falsch sind, und die stammen nicht von mir. Ich bin keinesfalls so arrogant, dass ich mich nicht belehen lassen würde. Deshalb habe ich ja nach deinem persönlichen Posting auf meine erste Annahme, es wären 50% Wahrscheinlichkeit, das Ganze auch noch zweimal angeschaut.

                        Und meine empirische Lösung kommt immer wieder auf ca. 19,3% Wahrscheinlichkeit, bzw. 80,7% Unwahrscheinlichkeit. Das war aber auch für mich überraschend. Liegt aber wahrscheinlich am differenziellen Charakter der Aufgabenstellung. (Ein Teilergebnis geht wieder in die Formel ein). Soweit wollte ich aber jetzt gar nicht darüber nachdenken. Ich hatte es als Spaß zum Wochenende aufgefasst. Die Lösung darf aber dann trotzdem richtig werden :-)

                        Liebe Grüße
                        Tom S.

                        --
                        Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                        Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                2. Hallo Tom,

                  Denke Du aber bitte daran, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht addiert, sondern multipliziert werden müssen

                  das macht Gunnar doch gar nicht!? Er zeigt doch nur mit einer schönen und einfachen Implementierung, wie man die relative Häufigkeit einer gültigen Lösung (heißt: es lässt sich aus den Teilstrecken ein Dreieck konstruieren) berechnet!?

                  und das die zweite Wahrscheinlichkeitsstufe von der ersten abhängig ist.

                  Warum? Wenn Du das entsprechend definierst, kannst Du evtl. auch in diese Richtung argumentieren. Allgemeingültig ist das aber nicht und geht zumindest nicht direkt aus der Aufgabenstellung hervor.

                  Woher stammt die Aufgabe? Woher stammt die Lösung?

                  Woher die Aufgabe kommt ist doch völlig egal. Die Frage ist, ob Die Lösung allgemeingültig und allgemeinverständlich dargelegt werden kann. Das ist ja gerade Idee bei den Rätseln. Und sollte eine Aufgabe nicht hundertprozentig exakt formuliert sein oder mehrere Lösungswege offen stehen, musst Du ja nur die Rahmenbedingungen erklären, unter welchen Annahmen Du versuchst die Lösung zu finden. Dann kann man das unter diesem Aspekt auch bewerten.

                  Matthias sagte unabhängig davon auch schon, dass es mehrere Lösungen für das Rätsel gibt. Und Gunnar hat Dir lediglich einen Weg gezeigt, das Ergebnis auch einigermaßen nachvollziehbar „experimentell“ zu bestätigen.

                  Gruß
                  Dennis

                  1. Hello,

                    Woher stammt die Aufgabe? Woher stammt die Lösung?

                    Woher die Aufgabe kommt ist doch völlig egal.

                    Dir vielleicht, mir nicht. Dieser Unteraschied sollte mMn auch erlaubt bleiben.

                    Die Frage ist, ob Die Lösung allgemeingültig und allgemeinverständlich dargelegt werden kann.

                    Mir ist eher wichtiger, ob es eine allgemein anerkannte Lösung gibt und wie die (auch für mich Dummy) verständlich erklärt werden kann.

                    Das ist ja gerade Idee bei den Rätseln. Und sollte eine Aufgabe nicht hundertprozentig exakt formuliert sein oder mehrere Lösungswege offen stehen, musst Du ja nur die Rahmenbedingungen erklären, unter welchen Annahmen Du versuchst die Lösung zu finden. Dann kann man das unter diesem Aspekt auch bewerten.

                    Matthias sagte unabhängig davon auch schon, dass es mehrere Lösungen für das Rätsel gibt. Und Gunnar hat Dir lediglich einen Weg gezeigt, das Ergebnis auch einigermaßen nachvollziehbar „experimentell“ zu bestätigen.

                    Das akzeptiere ich doch auch. Ich verstehe jetzt nicht, was Du dich jetzt aufregst?
                    Morgen werde ich den Compi arbeiten lassen. Dann kann er Millionen von Zufällen produzieren.
                    Heute brauche ich ihn noch...

                    Liebe Grüße
                    Tom S.

                    --
                    Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                    Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                    1. Hallo Tom,

                      Woher stammt die Aufgabe? Woher stammt die Lösung?

                      Woher die Aufgabe kommt ist doch völlig egal.

                      Dir vielleicht, mir nicht. Dieser Unteraschied sollte mMn auch erlaubt bleiben.

                      natürlich ist die Frage erlaubt. Mir ging es darum, dass eine Lösung davon unabhängig sein sollte, woher eine Aufgabe konkret stammt.

                      Die Frage ist, ob Die Lösung allgemeingültig und allgemeinverständlich dargelegt werden kann.

                      Mir ist eher wichtiger, ob es eine allgemein anerkannte Lösung gibt und wie die (auch für mich Dummy) verständlich erklärt werden kann.

                      Die Lösungen von Matthias und Gunnar finde ich verständlich. An welcher Stelle kannst Du die nicht nachvollziehen? Wahrscheinlich können die beiden dann da mehr ins Detail gehen.

                      Was ich aber eigentlich sagen wollte: Ich bin überzeugt davon, dass es mehrere Lösungen für diese Aufgabe gibt. Und damit meine ich nicht nur solche, welche zum selben Ergebnis kommen. Meiner Meinung nach gibt es auch weitere Lösungen, wenn man entsprechende Annahmen trifft. Dein Ansatz geht in die Richtung, wenn ich ihn richtig verstanden habe.

                      Das ist ja gerade Idee bei den Rätseln. Und sollte eine Aufgabe nicht hundertprozentig exakt formuliert sein oder mehrere Lösungswege offen stehen, musst Du ja nur die Rahmenbedingungen erklären, unter welchen Annahmen Du versuchst die Lösung zu finden. Dann kann man das unter diesem Aspekt auch bewerten.

                      Matthias sagte unabhängig davon auch schon, dass es mehrere Lösungen für das Rätsel gibt. Und Gunnar hat Dir lediglich einen Weg gezeigt, das Ergebnis auch einigermaßen nachvollziehbar „experimentell“ zu bestätigen.

                      Das akzeptiere ich doch auch. Ich verstehe jetzt nicht, was Du dich jetzt aufregst?

                      Alles gut :-) Ich bin weit davon entfernt mich aufzuregen. Warum auch? Ich wollte Dir nur sagen, dass Gunnar sehr schön eine mögliche Form der Verifizierung gezeigt hat. Und dass Du, wenn Du Deinen Ansatz weiter verfolgst, evtl. zu einer anderen und dennoch richtigen Lösung kommen könntest ;-)

                      Gruß
                      Dennis

                    2. @@TS

                      Mir ist eher wichtiger, ob es eine allgemein anerkannte Lösung gibt und wie die (auch für mich Dummy) verständlich erklärt werden kann.

                      Was genau hast du an Matthias’ und meiner Erklärung nicht verstanden?

                      Morgen werde ich den Compi arbeiten lassen. Dann kann er Millionen von Zufällen produzieren.
                      Heute brauche ich ihn noch...

                      Um herauszufinden, ob die relative Häufigkeit eher bei 0.25 oder bei deinen 0.375 liegt, brauchst du keine Millionen Schleifen. 100 reichen dafür.

                      LLAP 🖖

                      --
                      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
                      1. Hello,

                        und Überraschung, sie liegt bei ca. 19.3%
                        Ob das jetzt am Programmier, der Programmiersprache, den Systemen, oder sonstwas liegt, weiß ich nicht.

                        Beispiel: Erstausgabe kann wegen Buffer einen Moment (1-3 sec.) dauern....

                        Und mir ist das überhaupt nicht peinlich, auch wenn mich hier einige gerne in diese Gemütsverfassung treiben möchten. :-(

                        Liebe Grüße
                        Tom S.

                        --
                        Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                        Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                        1. Mach mich nicht schwach, 19,3% ???

                          Das ist die Wahrscheinlichkeit, die ich in meinem als falsch verworfenen Lösungsweg errechnet habe. Ich muss wohl auch mal die Monte-Carlo-Methode anwenden - wieviele Experimente hast Du gemacht?

                          Edit: Bin zurück aus Bad Neuenahr (Monaco war mir zu weit) - ich komme im gezeigten Teilungsverfahren auf 25%.

                          Rolf

                          1. Hallo Rolf b,

                            Das ist die Wahrscheinlichkeit, die ich in meinem als falsch verworfenen Lösungsweg errechnet habe. Ich muss wohl auch mal die Monte-Carlo-Methode anwenden - wieviele Experimente hast Du gemacht?

                            Mann kann ja auch den Weg der Diskretisierung beschreiten und einfach alle Varianten durchgehen. 100 Stücke dürften reichen.

                            Wenn man sich auf die Teilungspunkte beschränkt.

                            for (x = 0; x <= 100; x++) {
                              for (y = x; y <=100; y++) {
                                if (x < .5 && y >.5 && y-x < .5) { Dreieck }
                              }
                            }
                            

                            Und: Vielleicht gibt es tatsächlich unterschiedliche Ergebnisse, je nach dem, ob man völlig beliebig wählt oder in Abhängigkeit von x.

                            Bis demnächst
                            Matthias

                            --
                            Rosen sind rot.
                            1. Hallo Matthias Apsel,

                              for (x = 0; x <= 100; x++) {
                                for (y = x; y <=100; y++) {
                                  if (x < .5 && y >.5 && y-x < .5) { Dreieck }
                                }
                              }
                              

                              Und: Vielleicht gibt es tatsächlich unterschiedliche Ergebnisse, je nach dem, ob man völlig beliebig wählt oder in Abhängigkeit von x.

                              Was ja relativ leicht zu prüfen wäre.

                              for (x = 0; x <= 100; x++) {
                                for (y = 0; y <=100; y++) {
                                  if (x < y) {
                                    if (x < .5 && y >.5 && y-x < .5) { Dreieck }
                                  }
                                  else {
                                    if (y < .5 && x >.5 && x-y < .5) { Dreieck }
                                  }
                                }
                              }
                              

                              Bis demnächst
                              Matthias

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                              1. Hallo Matthias Apsel,

                                100 Teilungen reichen übrigens nicht:

                                $n = 0; $d=0;
                                for ($x = 0; $x <= 10000; $x++) {
                                  for ($y = $x; $y <=10000; $y++) {
                                    if ($x < 5000 && $y > 5000 && $y-$x < 5000) { $d++; }
                                    $n++;
                                  }
                                }
                                echo ($d/$n); // 0.24977508247975
                                
                                $n = 0; $d=0;
                                for ($x = 0; $x <= 1000; $x++) {
                                  for ($y = 0; $y <=1000; $y++) {
                                    if ($x < $y) {
                                      if ($x < 500 && $y > 500 && $y-$x < 500) { $d++; }
                                    }
                                    else {
                                      if ($y < 500 && $x > 500 && $x-$y < 500) { $d++; }
                                    }
                                    $n++;
                                  }
                                }
                                echo ($d/$n); // 0.24800574051323
                                

                                Bis demnächst
                                Matthias

                                --
                                Rosen sind rot.
                              2. Mir scheint, als würde diese Logik die Zufallsverteilung von TS und mir nicht repräsentieren.

                                Du halbierst lediglich den Lösungsraum entlang der Symmetriediagonalen (die absteigende Diagonale in deinem Lösungsquadrat) und gewichtest deshalb nicht so, wie es meine Verteilerlogik getan hat.

                                Mit Gunnars Monte-Carlo Prinzip und meiner Zufallsermittlung komme ich auf die 19,3%.

                                Rolf

                            2. Hello,

                              Das ist die Wahrscheinlichkeit, die ich in meinem als falsch verworfenen Lösungsweg errechnet habe. Ich muss wohl auch mal die Monte-Carlo-Methode anwenden - wieviele Experimente hast Du gemacht?

                              Mann kann ja auch den Weg der Diskretisierung beschreiten und einfach alle Varianten durchgehen. 100 Stücke dürften reichen.

                              Wenn man sich auf die Teilungspunkte beschränkt.

                              for (x = 0; x <= 100; x++) {
                                for (y = x; y <=100; y++) {
                                  if (x < .5 && y >.5 && y-x < .5) { Dreieck }
                              

                              Verstehe ich nicht: Warum y > 0.5?
                              Wenn auch nur eine der Teilstrecken länger (oder gleich) 0.5 * Gesamtstrecke ist, kann man aus den teilken kein Dreieck bilden. Oder ist mein Geodreieck kaputt?

                              Mal Dir das doch mal auf!

                              } }

                              
                              Und: Vielleicht gibt es tatsächlich unterschiedliche Ergebnisse, je nach dem, ob man völlig beliebig wählt oder in Abhängigkeit von x.
                              

                              Glaub ich nicht. Es gibt selbstverständlich unendlich viele verschiedene Dreiecke, aber dass man mal eins bilden kann mit einer Teilstrecke, länger als (0,5 * Gesamtlänge) und mal nur, wenn ALLE Teilstecken kürzer sind als (0,5 * Gesamtlänge), das halte ich für Unsinn.

                              Liebe Grüße
                              Tom S.

                              --
                              Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                              Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                              1. Hallo TS,

                                for (x = 0; x <= 100; x++) {
                                  for (y = x; y <=100; y++) {
                                    if (x < .5 && y >.5 && y-x < .5) { Dreieck }
                                

                                Verstehe ich nicht: Warum y > 0.5?
                                Wenn auch nur eine der Teilstrecken länger (oder gleich) 0.5 * Gesamtstrecke ist, kann man aus den teilken kein Dreieck bilden. Oder ist mein Geodreieck kaputt?

                                0-----x-----y-----1

                                Die Teilstrecken sind x, y-x und 1-y. 1-y muss kleiner als 0.5 sein. Deshalb muss y größer als 0.5 sein.

                                Und: Vielleicht gibt es tatsächlich unterschiedliche Ergebnisse, je nach dem, ob man völlig beliebig wählt oder in Abhängigkeit von x.

                                Glaub ich nicht.

                                Glauben ist nicht wissen.

                                Es gibt selbstverständlich unendlich viele verschiedene Dreiecke, aber dass man mal eins bilden kann mit einer Teilstrecke, länger als (0,5 * Gesamtlänge) und mal nur, wenn ALLE Teilstecken kürzer sind als (0,5 * Gesamtlänge), das halte ich für Unsinn.

                                Solange kein Fehler in der 19,3%-Lösung zu finden ist, …

                                Bis demnächst
                                Matthias

                                --
                                Rosen sind rot.
                                1. @@Matthias Apsel

                                  Solange kein Fehler in der 19,3%-Lösung zu finden ist, …

                                  Ich hab einen gefunden.

                                  LLAP 🖖

                                  --
                                  “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory

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                                  1. Hello,

                                    Solange kein Fehler in der 19,3%-Lösung zu finden ist, …

                                    Ich hab einen gefunden.

                                    Und ich habe auch brav die Version 2 gebaut ...
                                    Nun guck nicht mehr so böse ;-P

                                    Liebe Grüße
                                    Tom S.

                                    --
                                    Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                                    Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                                2. Hello,

                                  Glauben ist nicht wissen.

                                  Es gibt selbstverständlich unendlich viele verschiedene Dreiecke, aber dass man mal eins bilden kann mit einer Teilstrecke, länger als (0,5 * Gesamtlänge) und mal nur, wenn ALLE Teilstecken kürzer sind als (0,5 * Gesamtlänge), das halte ich für Unsinn.

                                  Solange kein Fehler in der 19,3%-Lösung zu finden ist, …

                                  Guck doch bitte nach. Ist vielleicht nicht Guru-Programmier-Stil, aber lesbar und läuft. Eigene Programme selber und alleine auf Fehler zu untersuchen wäre unwissenschaftlich.

                                  Liebe Grüße
                                  Tom S.

                                  --
                                  Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                                  Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                                  1. @@TS

                                    Solange kein Fehler in der 19,3%-Lösung zu finden ist, …

                                    Guck doch bitte nach.

                                    Nein, du kuckst – und zwar hier und dort.

                                    LLAP 🖖

                                    --
                                    “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
                                    1. Hello,

                                      Solange kein Fehler in der 19,3%-Lösung zu finden ist, …

                                      Guck doch bitte nach.

                                      Nein, du kuckst – und zwar hier und dort.

                                      Mach sich doch gerne.

                                      Und du guckst dann bitte nochmal unter Version 2 und ich freue mich, dass es noch Überraschungen beim "zufällig Teilen" gibt.

                                      Ich sag ja, dass ich nicht unbelehrbar bin. Aber Du musst doch zugeben, dass die "Zweitlösung" auch nicht schlecht war? Ich sollte doch Politiker werden. Verwirrung stiften ist lustig ;-)

                                      Liebe Grüße
                                      Tom S.

                                      --
                                      Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                                      Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                                      1. Hallo TS,

                                        Ich sag ja, dass ich nicht unbelehrbar bin. Aber Du musst doch zugeben, dass die "Zweitlösung" auch nicht schlecht war? Ich sollte doch Politiker werden. Verwirrung stiften ist lustig ;-)

                                        So, und jetzt der grapische Beweis für die 19,3%.

                                        Bis demnächst
                                        Matthias

                                        --
                                        Rosen sind rot.
                                        1. Hello,

                                          da passe ich.

                                          Aber ich habe dabei gelernt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein brauchbarese Ergebnis bei der Arbeit herauskommt, beim strukturierten Arbeiten (links -> rechts, oben -> unten) nur 19,3% beträgt, beim chaotischen Arbeiten aber 25,0%.

                                          Das muss ich mir unbedingt merken, wenn mir wieder mal jemand sagt: nun mach mal ordentlich Eins nach dem Anderen. ;-P

                                          Liebe Grüße
                                          Tom S.

                                          --
                                          Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                                          Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                                  2. Hallo Tom,

                                    man kann das Teilen auf verschiedene Arten angehen:

                                    • Teilen an zufälliger Stelle, längeres Stück weglegen, Rest zufällig teilen -> das wird wohl nix
                                    • Teilen an zufälliger Stelle, kürzeres Stück weglegen, Rest zufällig teilen -> hohe Wahrscheinlichkeit für ein Dreieck
                                    • Teilen an zufälliger Stelle, rechtes Stück weglegen, Rest zufällig teilen -> mMn deine Variante
                                    • Zwei Schnittstellen zufällig ermitteln und dann teilen -> so war es mMn gedacht
                                    • ???

                                    Gruß
                                    Jürgen

                                    1. Hello Jürgen,

                                      man kann das Teilen auf verschiedene Arten angehen:

                                      Das habe ich inzwischen gelernt.

                                      • Teilen an zufälliger Stelle, längeres Stück weglegen, Rest zufällig teilen -> das wird wohl nix
                                      • Teilen an zufälliger Stelle, kürzeres Stück weglegen, Rest zufällig teilen -> hohe Wahrscheinlichkeit für ein Dreieck
                                      • Teilen an zufälliger Stelle, rechtes Stück weglegen, Rest zufällig teilen -> mMn deine Variante
                                      • Zwei Schnittstellen zufällig ermitteln und dann teilen -> so war es mMn gedacht

                                      Und als braver Deutscher habe ich von links nach rechts gedacht. Der Zufall hat sich aber bei der hier priorisierten Lösung herausgenommen, zu arbeiten, wo und wie er will :-)

                                      • ???

                                      Tja, man könnte die Latte noch längs durchsägen. Die Kreissäge machts möglich ;-)

                                      Liebe Grüße
                                      Tom S.

                                      --
                                      Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                                      Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                                      1. Hallo,

                                        Tja, man könnte die Latte noch längs durchsägen. Die Kreissäge machts möglich ;-)

                                        Komisch, beim Ziegenproblem ist noch nie jemand auf die Idee gekommen, es mit der Kreissäge zu lösen 😀

                                        Gruß
                                        Kalk

                        2. Hallo,

                          Hello,

                          und Überraschung, sie liegt bei ca. 19.3%

                          Und ist damit ein richtiges Ergebnis, nur leider für eine andere Aufgabe.

                          Ob das jetzt am Programmier, der Programmiersprache, den Systemen, oder sonstwas liegt, weiß ich nicht.

                          Am Programmierer, der die gestellte Aufgabe anderes interpretiert hat.

                          Beispiel

                          Du teilst die Strecke einmal zufällig, und nimmst das zweite Teilstück und teilst das nocheinmal zufällig. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit beeinflusst. Hier müsstest du sie eigentlich abhängig von der Länge des Teilstücks berechnen.

                          Gruß
                          Kalk

                          Folgende Beiträge verweisen auf diesen Beitrag:

                          1. Und damit sind wir bei der philosophischen Frage, ob die Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, nur eine der beiden in diesem Thread diskutierten Interpretationen zulässt, oder beide.

                            Rolf

                            1. @@Rolf b

                              Und damit sind wir bei der philosophischen Frage, ob die Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, nur eine der beiden in diesem Thread diskutierten Interpretationen zulässt, oder beide.

                              Ich würd sagen: nur eine.

                              „Eine Strecke wird zufällig in drei Teile geteilt“ sollte schon heißen, dass beide Teilungen zufällig sind.

                              Wenn du für die zweite Teilung nur ein Teilstück des Ergebnisses der ersten Teilung zulässt, ist das schon eine Manipulation des Zufalls.

                              LLAP 🖖

                              --
                              “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory

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                          2. Hello,

                            und Überraschung, sie liegt bei ca. 19.3%

                            Und ist damit ein richtiges Ergebnis, nur leider für eine andere Aufgabe.

                            Ob das jetzt am Programmier, der Programmiersprache, den Systemen, oder sonstwas liegt, weiß ich nicht.

                            Am Programmierer, der die gestellte Aufgabe anderes interpretiert hat.

                            Beispiel

                            Du teilst die Strecke einmal zufällig, und nimmst das zweite Teilstück und teilst das nocheinmal zufällig. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit beeinflusst. Hier müsstest du sie eigentlich abhängig von der Länge des Teilstücks berechnen.

                            Wieso? Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich doch anschließend, nach dem zweiten Teieln, aus dem Geamtergebnis. Endweder es ist dann eines der Stücke gleich oder länger als 50%, dann gibts kein Dreieck, oder eben nicht, dann gibt es eines.

                            Aber zur allerseitigen Belustigung/Kontrolle/Beruhigung baue ich auch die zweite Version noch.

                            Bis später ...

                            Liebe Grüße
                            Tom S.

                            --
                            Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                            Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                3. Er addiert keine Wahrscheinlichkeiten, sondern zählt die Häufigkeit der bildbaren Dreiecke und dividiert das nachher durch die Menge aller Experimente -> Laplace Wahrscheinlichkeit.

                  Als Aufgabenquelle habe ich bei Google Books "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben" von Volker Nollau, Lothar Partzsch, Regina Storm und Claus Lange gefunden, aber keine Ahnung, ob es da das Original ist. Dort heißt es:

                  Aufgabe 2.3.3 Eine Strecke der Länge L werde durch zwei "rein zufällig" gewählte Teilungspunkte in 3 Stücke geteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit läßt sich aus diesen Teilstücken ein Dreieck legen?

                  Diese Formulierung hätte mir übrigens deutlich besser gefallen als die von Matthias, denn dann wäre ich nicht auf meine Lösung mit Integralrechnung verfallen...

                  Rolf

                  1. Hallo Rolf b,

                    Aufgabe 2.3.3 Eine Strecke der Länge L werde durch zwei "rein zufällig" gewählte Teilungspunkte in 3 Stücke geteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit läßt sich aus diesen Teilstücken ein Dreieck legen?

                    Diese Formulierung hätte mir übrigens deutlich besser gefallen als die von Matthias, denn dann wäre ich nicht auf meine Lösung mit Integralrechnung verfallen...

                    Durch diese Formulierung wird die Aufgabe auch einfacher, denn sie setzt den Fokus schon auf die Teilungspunkte.

                    Bis demnächst
                    Matthias

                    --
                    Rosen sind rot.

                    Folgende Beiträge verweisen auf diesen Beitrag:

                  2. Hello,

                    Als Aufgabenquelle habe ich bei Google Books "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben" von Volker Nollau, Lothar Partzsch, Regina Storm und Claus Lange gefunden, aber keine Ahnung, ob es da das Original ist. Dort heißt es:

                    Aufgabe 2.3.3 Eine Strecke der Länge L werde durch zwei "rein zufällig" gewählte Teilungspunkte in 3 Stücke geteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit läßt sich aus diesen Teilstücken ein Dreieck legen?

                    Das kann ich ja nochmal so bauen für den empirischen Versuch. Mal sehen, ob das tatsächlich etwas ausmacht. Kann ich mir jetzt zwar nicht vorstellen, aber Versuch macht klug!

                    Bis später.

                    Liebe Grüße
                    Tom S.

                    --
                    Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                    Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
                    1. Hello,

                      Als Aufgabenquelle habe ich bei Google Books "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben" von Volker Nollau, Lothar Partzsch, Regina Storm und Claus Lange gefunden, aber keine Ahnung, ob es da das Original ist. Dort heißt es:

                      Aufgabe 2.3.3 Eine Strecke der Länge L werde durch zwei "rein zufällig" gewählte Teilungspunkte in 3 Stücke geteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit läßt sich aus diesen Teilstücken ein Dreieck legen?

                      Das kann ich ja nochmal so bauen für den empirischen Versuch. Mal sehen, ob das tatsächlich etwas ausmacht. Kann ich mir jetzt zwar nicht vorstellen, aber Versuch macht klug!

                      Bis später.

                      So: fertig! Mit Überraschnungeffekt.

                      Anzahl der Durchläufe kann man bei beiden mit ?runs=#anzahl steuern. Auch die Unterschiede sind interessant.

                      Liebe Grüße
                      Tom S.

                      --
                      Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
                      Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
              2. @@Gunnar Bittersmann

                Hier hat sich noch ein Fehler eingeschlichen [im vorigen Posting inzwischen berichtigt]:

                for (n = 1; n <= 10000; n++)
                

                Wenn man die Schleife so laufen lässt, ist n danach 10001. Man müsste also hier

                console.log(H/n);
                

                durch n − 1 teilen.

                Oder die Schleife for (n = 0; n < 10000; n++) laufen lassen.

                LLAP 🖖

                --
                “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
            2. Hi Tomtom,

              und kein Dreieck ergibt sich auch, wenn eine der Strecken länger/gleich 50% der Gesamtlänge ist.

              Das stimmt! Das habe ich bereits gestern festgestellt beim Versuch, den Reißverschluss meiner Regenjacke zu schließen:

              Wenn ich die Jacke ausbreite, hat das Rückenteil ca. 52% der Gesamtbreite. Damit sind die Seitenteile zusammengelegt schmaler als das Rückenteil. Also auch ohne mich dazwischen ergibt das schonmal in der Draufsicht kein Dreieck weil sich die Seitenteile nicht mehr da treffen wo sie sollen, nämlich da wo der Reißverschluss ist.

              Und dann sag mal einer dass Mathe keine praktische Wissenschaft ist. Schade dass das mein alter Kumpel Otto nicht mehr erleben durfte, der ist bei Regenwetter grundsätzlich zuhause geblieben.

              Älterwerden ist Scheiße.

    3. Hallo zusammen,

      so, mal eine erste Lösung:

      meine grafische Lösung war identisch mit der von Matthias.

      Es gab übrigens wie immer mehrere Lösungswege, vielleicht veröffentlichen ja die Autoren ihre auch.

      Da schließe ich mich mal Gunnar an und poste hier auch meine erste Lösung, die ich Matthias schon geschickt hatte, bevor ich auf die grafische Lösung kam. Die war allerdings nicht so schön anschaulich wie die grafische Lösung. Meine „Skizze“:

      0 --------------------------- x1 ----------------- x2 ------------- L
                     a                         b                  c
      

      Wenn ich annehme, dass die beiden Schnitte an den Stellen $$x_1$$ und $$x_2$$ unabhängig und über die Länge $$L$$ gleichverteilt sind, dann muss lediglich die Dreiecksungleichung $$c \leq a + b$$ erfüllt sein, damit ein Dreieck entsteht. Aufgrund des Kommutativgesetzes, d.h. $$a+b+c=…c+b+a=L$$ ist die Bezeichnung der Variablen hier beliebig austauschbar und entspricht nicht den Längen in der Skizze. $$c$$ bezeichnet die längste Teilstrecke.

      Bei einer Streckenlänge $$L$$ muss somit gelten, dass kein Teilabschnitt $$a$$, $$b$$, $$c$$ größer als $$\frac{L}{2}$$ ist. Dabei werden „entartete Dreiecke“, d.h. der Fall wenn $$c=a+b$$ ist, mit eingeschlossen.

      Am einfachsten ist es dann, einfach nur ein Teilstück zu betrachten. Sagen wir Teilstück $$a$$ in der Skizze. Wann ist dieses Teilstück größer als $$\frac{L}{2}$$? Genau dann, wenn beide Schnitte in der zweiten Hälfte der Strecke wären, also im Bereich größer $$\frac{L}{2}$$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schnitt die Bedingung erfüllt, ist $$P_1=0.5$$. Für beide Schnitte gilt dann $$P=P_1^2=25%$$.

      Neben der beschriebenen grafischen Lösung finde ich auch folgende Lösung sehr elegant bzw. lehrreich:

      Der Satz von Viviani besagt, dass die Summe der Abstände eines Punktes $$P$$ von den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks konstant ist.

      Man konstruiere daher ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe $$L$$, d.h. der Länge der ursprünglichen Strecke. Verbindet man anschließend die Mittelpunkte aller Seiten miteinander, so ergeben sich vier gleich große Dreiecke innerhalb des ursprünglichen Dreiecks.

      Nun schneidet man die Strecke in drei Teile und stellt die sich ergebenden Teilstrecken senkrecht auf die Seitenflächen des gleichseitigen Dreiecks, sodass sie sich in einem Punkt treffen. Anschließend lässt sich zeigen, dass sich nur dann ein Dreieck aus den Teilstrecken ergeben kann, wenn dieser Punkt im mittleren der zuvor definierten vier gleich großen Dreiecke ist.

      Da meine mathematischen Erklärungen und insbesondere diese nicht sehr verständlich sind: Ein Bild sagt mehr als tausend Worte ;-)

      Danke nochmal für die immer wieder tollen Rätsel!

      Gruß
      Dennis

      1. Verstehe ich nicht: Warum darf eine Teilstrecke nicht größer als L/2 sein? Der Aufgabenstellung konnte ich das nicht entnehmen. pl

        1. Hallo Rolf,

          Verstehe ich nicht: Warum darf eine Teilstrecke nicht größer als L/2 sein? Der Aufgabenstellung konnte ich das nicht entnehmen.

          wegen der Dreiecksungleichung. Sollte eine Teilstrecke größer als die halbe Länge sein, kannst Du daraus kein Dreieck mehr formen. Kannst Du auch praktisch ausprobieren, Tabellenkalk hatte ja schon die Zollstöcke ins Spiel gebracht :-)

          Gruß
          Dennis

          1. Hallo Der-Dennis,

            wegen der Dreiecksungleichung. Sollte eine Teilstrecke größer als die halbe Länge sein, kannst Du daraus kein Dreieck mehr formen.

            Es sei denn

                  /\
                 /  \
                /    \
                -----------
            

            #😝

            Bis demnächst
            Matthias

            --
            Rosen sind rot.
            1. Hallo Matthias,

              wegen der Dreiecksungleichung. Sollte eine Teilstrecke größer als die halbe Länge sein, kannst Du daraus kein Dreieck mehr formen.

              Es sei denn

                    /\
                   /  \
                  /    \
                  -----------
              

              stimmt! Sehr schön 😂

              Gruß
              Dennis

      2. Hallo Dennis,

        Am einfachsten ist es dann, einfach nur ein Teilstück zu betrachten. Sagen wir Teilstück $$a$$ in der Skizze. Wann ist dieses Teilstück größer als $$\frac{L}{2}$$? Genau dann, wenn beide Schnitte in der zweiten Hälfte der Strecke wären, also im Bereich größer $$\frac{L}{2}$$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schnitt die Bedingung erfüllt, ist $$P_1=0.5$$. Für beide Schnitte gilt dann $$P=P_1^2=25%$$.

        Dieser Wert $$25%$$ wäre also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Dreieck zustande kommt... (??)

        Aber nur, falls a das größte Teilstück ist (??)

        Und man daher mit 3 multiplizieren muss (??)

        Der Satz von Viviani besagt, dass die Summe der Abstände eines Punktes $$P$$ von den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks konstant ist.

        Der Satz (allerdings nicht sein Name) war mir auch noch eingefallen, und ich habe es so formuliert:


        Man zeigt leicht: Fällt man von einem beliebigen Punkt im Innern eines gleichseitigen Dreiecks die Lote auf dessen Seiten, so ist die Summe der drei (roten) Lotstrecken stets gleich - sie ist gleich der Höhe des Dreiecks.

        Wir betrachten die drei Lotstrecken daher als die drei Teilstücke der zerteilten Strecke.

        Da keines davon länger sein darf als die halbe Summe (also als die halbe Höhe des Dreiecks), muss der Punkt, von dem sie ausgehen, innerhalb des (blauen) Mittendreiecks des großen Dreiecks liegen. Man erhält wieder die Wahrscheinlichkeit 1/4 als Anteil der blauen Fläche an der Gesamtfläche.


        Da meine mathematischen Erklärungen und insbesondere diese nicht sehr verständlich sind: Ein Bild sagt mehr als tausend Worte ;-)

        Gute Idee, das entstehende Dreieck zu zeigen.

        Danke nochmal für die immer wieder tollen Rätsel!

        Dem schließe ich mich an!

        Viele Grüße

        ottogal

        1. Hello,

          Dieser Wert $$25%$$ wäre also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Dreieck zustande kommt... (??)

          Nee, dass eins zustande kommt.

          Liebe Grüße
          Tom S.

          --
          Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
          Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
        2. Hallo ottogal,

          Am einfachsten ist es dann, einfach nur ein Teilstück zu betrachten. Sagen wir Teilstück $$a$$ in der Skizze. Wann ist dieses Teilstück größer als $$\frac{L}{2}$$? Genau dann, wenn beide Schnitte in der zweiten Hälfte der Strecke wären, also im Bereich größer $$\frac{L}{2}$$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schnitt die Bedingung erfüllt, ist $$P_1=0.5$$. Für beide Schnitte gilt dann $$P=P_1^2=25%$$.

          Dieser Wert $$25%$$ wäre also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Dreieck zustande kommt... (??)

          Aber nur, falls a das größte Teilstück ist (??)

          Und man daher mit 3 multiplizieren muss (??)

          mMn. ja.

          Bis demnächst
          Matthias

          --
          Rosen sind rot.
          1. Hallo ottogal, hallo Matthias,

            Am einfachsten ist es dann, einfach nur ein Teilstück zu betrachten. Sagen wir Teilstück $$a$$ in der Skizze. Wann ist dieses Teilstück größer als $$\frac{L}{2}$$? Genau dann, wenn beide Schnitte in der zweiten Hälfte der Strecke wären, also im Bereich größer $$\frac{L}{2}$$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schnitt die Bedingung erfüllt, ist $$P_1=0.5$$. Für beide Schnitte gilt dann $$P=P_1^2=25%$$.

            Dieser Wert $$25%$$ wäre also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Dreieck zustande kommt... (??)
            Aber nur, falls a das größte Teilstück ist (??)
            Und man daher mit 3 multiplizieren muss (??)

            mMn. ja.

            ja, zumindest war das die Idee, die aber durchaus auch falsch sein kann. Ich denke aber, dass diese Lösung eigentlich äquivalent bzw. eine Kurzform der dreifachen Anwendung der Dreiecksungleichung ist.

            Ich hab die hier eigentlich nur gepostet, um einerseits Feedback zu bekommen, ob man das so überhaupt machen darf und um andererseits zu zeigen, dass es häufig mehrere Lösungswege gibt. Und diese verschiedenen Wege können zwar zum gleichen Ergebnis führen, können auf ihre Art und Weise aber auch „gut“ oder „schlecht“ sein, auch wenn sie formal richtig sind.

            Der oben stehende Beweis, sofern er korrekt ist, ist schlecht, weil er aus meiner Sicht zwar sehr einfach, gleichzeitig aber ziemlich unverständlich (und wegen Umformulierungen und Auslassungen auch nicht ganz vollständig) ist.

            Zum Hintergrund:

            1. Meine erste Idee war die Dreiecksungleichung. Dabei bin ich mit den Wahrscheinlichkeiten immer durcheinander gekommen, als mir auffiel, dass ich ebenso wie andere hier die Wahrscheinlichkeiten auf unterschiedliche Längen bezogen hatte.
            2. Viviani (den Namen des Satzes habe ich übrigens auch erst später gegoogelt). Das war dann der erste echte Lösungskandidat. Ich war aber zu faul und fand es schwierig, das vernünftig in Text zu verpacken. Dreimal „wie direkt ersichtlich“, „trivial“ und „lässt sich leicht zeigen“ fand ich für einen Beweis zu dürftig. Außerdem dachte ich, es muss eine einfachere Lösung als einen Satz geben.
            3. Oben genannter Beweis. Den habe ich dann (zusammen mit Viviani als theoretische, aber noch nicht vollständige Lösung) an Matthias geschickt. Überzeugt war ich davon aber nicht wirklich, weil ich ihn recht unverständlich fand (und mir noch nicht sicher war, ob es noch einen Haken an der Aufgabe gibt).
            4. Musste also eine einfachere Lösung her. Alle Bedingungen mal sauber aufgeschrieben und eine Skizze gemacht: Ah ja, dreimal Dreiecksungleichung. Daraus jetzt eine weitere Skizze => Matthias Lösung. Das war anschaulich und verständlich.
            5. Nochmal zurück zu Viviani, bisschen ausprobiert, ok, passt. Kann ich zwar immer noch nicht gut erklären, Ergebnis sollte aber passen.
            6. Drei Lösungsansätze, dreimal gleiches Ergebnis: Sollte also alles soweit richtig sein. Kleine Recherche, dabei noch einige interessante Sachen gelesen und wieder was gelernt :-)

            Der Satz (allerdings nicht sein Name) war mir auch noch eingefallen, und ich habe es so formuliert: […]

            Deutlich besser als meine Versuche!

            Gute Idee, das entstehende Dreieck zu zeigen.

            Finde ich auch. Da ich mich aber nicht gern mit fremden Federn schmücke: Das ist nicht von mir. Ich fand es aber ziemlich gut und hab es daher hier einfach übernommen. Quelle reiche ich ggf. nach. Da dort aber potenzielle weitere Rätsellösungen zu finden sein könnten, habe ich das hier erstmal weg gelassen.

            Gruß
            Dennis

    4. Hallo in die Runde,

      meine Lösung ist dreidimensional und damit unnötig kompliziert. Ich teile sie trotzdem mit, weil man an ihr sieht, was für ein feines Werkzeug GeoGebra ist:


      Die Länge der zu teilenden Strecke sei 1, die der Teilstücke x, y, z. Somit muss gelten x + y + z = 1

      Hierzu eine 3D-Grafik in GeoGebra.

      In der (hellgrünen) Ebene E mit der Gleichung

      x + y + z = 1

      stellt jeder Punkt von E mit ausschließlich positiven Koordinaten eine mögliche Teilung der Strecke dar - alle Teilungen zusammen bilden das Innere des (rot gezeichneten) Dreiecks ABC mit A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).

      Um aus den Teilstücken ein Dreieck bilden zu können, müssen die 3 Dreiecksungleichungen erfüllt sein:

      (1) x + y > z, also z < x + y bzw. x + y - z > 0

      (2) y + z > x, also z > x - y bzw. - x + y + z > 0

      (3) z + x > y, also z > y - x bzw. x - y + z > 0

      Es sind nun noch diese drei Ebenen eingezeichnet:

      E1: x + y - z = 0 (blaugrau)

      E2: - x + y + z = 0 (olivgrün)

      E3: x - y + z = 0 (rosa)

      Diejenigen inneren Punkte von Dreieck ABC, die ein Dreieck mit den Seitenlängen x, y, z ermöglichen, müssen also folgende drei Bedingungen erfüllen (Die z-Achse ist die vertikale Achse):

      Wegen (1) müssen sie unterhalb von Ebene E1 liegen.

      Wegen (2) müssen sie oberhalb von Ebene E2 liegen.

      Wegen (3) müssen sie oberhalb von Ebene E3 liegen.

      Das trifft genau für die inneren Punkte des Mittendreiecks von Dreieck ABC zu, dessen Flächeninhalt 1/4 der Fläche von Dreieck ABC ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus x, y, z ein Dreieck gebildet werden kann, ist folglich 1/4.

      (Kontinuierliche, gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Dreieck ABC!)


      Nachdem mir Matthias seine Lösung mitgeteilt hat, habe ich doch noch über eine 2-dimensionale Lösung nachgedacht und habe im Wesentlichen die letzte von Dennis gefunden, der dazu noch das jeweils bildbare Dreieck zeigt - sehr schön.

      Viele Grüße an alle

      ottogal

    5. Dann will ich auch mal. Meine Lösung ist ANDERS, aber ich behaupte mal: im Rahmen der Aufgabenstellung nicht falsch. Ich verwende eine andere Vorgehensweise für die zufällige Aufteilung und komme damit auf andere Wahrscheinlichkeiten.

      Dank Gunnars Monte-Carlo-Vorlage kann ich experimentell nachweisen, dass ich mich nicht verrechnet habe (wie Matthias Apsel zunächst vermutet hat). Es ist einfach die andere Teilungslogik.

      In euren Methoden habt ihr zwei beliebige Punkte auf die Linie gesetzt. Ich dagegen habe die Sägewerkmethode angewendet: Da ist 'ne Latte, davon schneide ich mal ein Stück ab, das lege ich weg und den Rest säge ich irgendwo durch.

      In Gunnars Monte-Carlo-Script bedeutet das: Ich ersetze

      x = Math.random();
      y = Math.random();
      

      durch

      x = Math.random();
      y = x + Math.random()*(1-x);
      

      Nun meine Lösung auf dieser Grundlage:

      Unsere Strecke sieht so aus:

          |-----a-----|---b--|----c----|
          0           A      B         L
      

      wobei natürlich Punkte zusammenfallen können, es war keine Mindestlänge für die Segmente vorgegeben. Für die Rechnung nehme ich oBdA an, dass die Strecke die Länge 1 hat.

      Für die zufällige Unterteilung setze ich den Punkt A zufällig ins Intervall $$[0,1]$$ und habe mein Segment a, dann setze ich den Punkt B zufällig ins Intervall $$[A,1]$$ und habe die Segmente b und c. Auf Grund der Konstruktion gilt $$a\geqq0, b\geqq0, c\geqq0$$ und $$a+b+c=1$$ (bzw. $$b+c=1-a$$).

      Ein Dreick kann nicht gezeichnet werden, wenn die Summe der Längen zweier Seiten kleiner ist als die dritte Seite, also für $$a > b+c$$, $$b > a+c$$ oder $$c > a+b$$. Im konkreten Fall bedeutet das: Ist eine Seite länger als 0,5, geht es nicht. Ich mache keine Sonderbetrachtung dafür, dass eine Teilstrecke die Länge 0 hat, das ist nicht nötig. Das Dreieck entartet dann lediglich zu einem Strich.

      Ich bilde nun eine Funktion w(a) über dem Intervall $$[0,1]$$, die mir angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit für dieses a ein Dreieck möglich ist. Für a in $$]\frac{1}{2}, 1]$$ ist w(a), wie beschrieben, 0.

      Für den Fall $$a \leqq 0,5$$ hat die verbleibende Strecke die Länge 1-a und wird von B in zwei Teile geteilt. Für die Lage von B gibt es drei Zonen. Ist $$b > 0,5$$, so ist ein Dreieck nicht möglich (rechte xxxx Zone). Ist es kleiner als $$0,5-a$$, dann ist $$c > 0,5$$ und ebenfalls kein Dreieck möglich (linke xxxx Zone). Der Wert $$0,5 - a$$ errechnet sich aus $$1-a - 0,5$$.

                  |xxxxxx|-----------------|xxxxxx|
                  0    0,5-a              0,5    1-a
      

      Wenn B gleichverteilt in den Bereich A bis 1 gesetzt wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Abschnitt einer bestimmten Länge liegt, das Verhältnis der Längen von Abschnitt zu Gesamtstrecke, also:

      $$\begin{align}p(b > 0,5) &= 1 - p(b \le 0,5) = 1 - \frac{0,5}{1-a}
      &= \frac{0,5-a}{1-a}
      p(b < 0,5-a) &= \frac{0,5-a}{1-a} \end{align}$$

      Die Wahrscheinlichkeit, dass für einen bestimmten Wert von a kein Dreieck möglich ist, beträgt also

      $$\overline{w}(a) = 2 \cdot \frac{0,5-a}{1-a} = \frac{1-2a}{1-a}$$

      oder andersherum, die Wahrscheinlichkeit, dass eins möglich ist, lautet

      $$w(a) = 1 - \overline{w}(a) = 1 - \frac{1-2a}{1-a} = \frac{1-a-1+2a}{1-a}= \frac{a}{1-a}$$

      Um über dem Intervall die Wahrscheinlichkeit zu bilden, muss man das integrieren:

      $$\int_0^{0,5}\frac{a}{1-a}\mathrm d a$$

      Hier quiescht der Rost in meiner Analysis, aber die Funktion ist bronstein-integrierbar, die Stammfunktion lautet

      $$W(a) = -a - ln(1-a) + C$$

      und damit beträgt die Wahrscheinlichkeit

      $$\begin{align} p(dreieck) &= W(0,5)-W(0)
      & = -0,5 - ln(0,5) - (0-ln(1))
      & \approx 19,3% \end{align}$$

      Die Lösung, die ich Matthias geschickt hatte, enthielt noch ein paar begriffliche Fehler, die wollte ich beseitigen. Und eigentlich bin ich nun erstaunt, dass ich auf ein sinnvolles Ergebnis gekommen bin. Denn mein w(a) hatte ich mir als eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion vorgestellt. Es ist aber keine. Eine Dichtefunktion muss, wenn man sie von $$-\infty$$ bis $$+\infty$$ integriert, den Wert 1 ergeben. Das tut meine nicht. Ich weiß also nicht mehr genau, welches Statistikprinzip ich hier verwendet habe. Aber die Monte Carlo Probe sagt, dass das Ergebnis plausibel ist :)

      Rolf

      Folgende Beiträge verweisen auf diesen Beitrag:

      1. Hallo Rolf b,

        deine Überlegungen sind plausibel, ich sehe keinen Fehler in der Rechnung. Das erscheint paradox angesichts des anderen Ergebnisses der bisher beschriebenen Lösungswege.

        Die Erklärung dafür: Die ursprüngliche Aufgabenstellung

        Eine Strecke wird zufällig in drei Teile geteilt.

        ist nicht präzise - was heißt schon zufällig teilen? Deine Methode, den Stab "per Zufall" zu zerbrechen, führt zu einer anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung wie bei den anderen Lösungen. Und man kann lang darüber streiten, welche die richtige ist.

        Matthias hat insofern Recht mit seiner Bemerkung weiter oben, weil die dort zitierte Aufgabenstellung die Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung vorgibt.

        Zu diesem Phänomen gibt es das legendäre Bertrand-Paradoxon über das "zufällige" Eintragen einer Sehne in einen Kreis, deren Länge eine bestimmte Bedingung erfüllen soll. Je nach der Methode, wie man die zufällige Lage der Sehne bestimmt, erhält man unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen und damit unterschiedliche Ergebnisse (mal 1/2, mal 1/3, mal 1/4, ...). Eine schöne Darstellung findet sich auf einer Seite von matheplanet.com.

        Sehr lehrreich das alles...

        1. Danke für den Hinweis auf Bertrand, das kannte ich nicht.

          Damit sind wir beim alten Lehrsatz angekommen: Traue keiner Statistik, die Du nicht selber manipuliert hast.

          Rolf

          1. Es hat doch nichts mit Manipulation zu tun, wenn man die Begrifflichkeiten ("zufällig teilen") im Vorhinein präzisisiert - im Gegenteil.

            Der besagte alte Lehrsatz handelt gerade vom Verschleiern der zugrunde liegenden Voraussetzungen; dann kann man "mit Statistik alles beweisen"...

            1. @@ottogal

              Es hat doch nichts mit Manipulation zu tun, wenn man die Begrifflichkeiten ("zufällig teilen") im Vorhinein präzisisiert - im Gegenteil.

              Ich fand das präzise genug. Wenn nichts weiter angegeben ist, gelten keine weiteren Einschränkungen. Hier insbesondere keine Einschränkungen bezüglich des nach der 1. Teilung zu verwendenden und bei der 2.Teilung zu teilenden Teilstücks.[1]

              Dass man das rechte Teilstück weiterverwenden solle, spielte sich nur in den Köpfen einiger Wochenendmathematiker ab; davon stand nichts in der Aufgabe.

              LLAP 🖖

              --
              “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory

              1. Ich hätte ja gerne noch einen „Teil“ im Satz untergebracht, aber dann wäre er wohl vollends unverständlich geworden. ;-) ↩︎

              1. @@Gunnar Bittersmann

                Dass man das rechte Teilstück weiterverwenden solle, spielte sich nur in den Köpfen einiger Wochenendmathematiker ab; davon stand nichts in der Aufgabe.

                Und irgendwer hat ein Problem mit unbequemen Wahrheiten‽

                LLAP 🖖

                --
                “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
      2. Hello,

        In euren Methoden habt ihr zwei beliebige Punkte auf die Linie gesetzt. Ich dagegen habe die Sägewerkmethode angewendet: Da ist 'ne Latte, davon schneide ich mal ein Stück ab, das lege ich weg und den Rest säge ich irgendwo durch.

        Das mache ich in meiner empirischen Ermittlung doch genauso. Nur, dass ich nach dem ersten Absägen schon aufhöre, wenn das Stück länger oder gleich 50% der Gesamtlänge geworden ist. Dann brauch ich den Rest gar nicht mehr durchzusägen, denn ein Dreieck könnte ich aus den drei Teilen dann nicht mehr bauen.

        Liebe Grüße
        Tom S.

        --
        Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
        Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
        1. Hallo,

          Das mache ich in meiner empirischen Ermittlung doch genauso. Nur, dass ich nach dem ersten Absägen schon aufhöre, wenn das Stück länger oder gleich 50% der Gesamtlänge geworden ist. Dann brauch ich den Rest gar nicht mehr durchzusägen, denn ein Dreieck könnte ich aus den drei Teilen dann nicht mehr bauen.

          Und genau da liegt dein Fehler: Du gestattest es dem Zufall in dem Fall nicht, das längere Teilstück zu teilen.

          Gruß
          Kalk

          Folgende Beiträge verweisen auf diesen Beitrag:

          1. Hello,

            Das mache ich in meiner empirischen Ermittlung doch genauso. Nur, dass ich nach dem ersten Absägen schon aufhöre, wenn das Stück länger oder gleich 50% der Gesamtlänge geworden ist. Dann brauch ich den Rest gar nicht mehr durchzusägen, denn ein Dreieck könnte ich aus den drei Teilen dann nicht mehr bauen.

            Und genau da liegt dein Fehler: Du gestattest es dem Zufall in dem Fall nicht, das längere Teilstück zu teilen.

            Ja, stimmt. Ich bin eben - typisch deutsch - von Kind auf auf "von links nach rechts", "von oben nach unten", usw. gedrillt.

            Aber meine Erkenntnis fürs Leben habe ich bereits daraus gezogen. Wer chaotsich arbeitet, hat 25% Wahrscheinlichkeit, das etwas Brauchbares dabei herauskommt und wer "strukturiert" arbeitet nur 19,3%. :-P

            Liebe Grüße
            Tom S.

            --
            Es gibt nichts Gutes, außer man tut es
            Andersdenkende waren noch nie beliebt, aber meistens diejenigen, die die Freiheit vorangebracht haben.
      3. Hallo Rolf b,

        $$\begin{align} p(dreieck) &= W(0,5)-W(0)
        & = -0,5 - ln(0,5) - (0-ln(1))
        & \approx 19,3% \end{align}$$

        = ln(2) - 1/2. Damit siehts für eine graphische Veranschaulichung nicht so gut aus.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
        Rosen sind rot.
  5. Hi,

    Eine Strecke wird zufällig in drei Teile geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den Teilstrecken ein Dreieck gebildet werden kann?

    Die Wahrscheinlichkeit ist exakt 0.

    Auch wenn die Strecke geteilt ist, befinden sich die 3 Teilstücke immer noch auf derselben Geraden wie vorher. Und damit kann das niemals ein Dreieck ergeben.

    Wer anderes behauptet, verbreitet alternative Fakten!!!!!111!elf!!!eins!!!

    cu,
    Andreas a/k/a MudGuard