Mathematik zum langen Wochenende - Lösung

[ottogal]

Hallo in die Runde,

meine Lösung ist dreidimensional und damit unnötig kompliziert. Ich teile sie trotzdem mit, weil man an ihr sieht, was für ein feines Werkzeug GeoGebra ist:

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Die Länge der zu teilenden Strecke sei 1, die der Teilstücke x, y, z. Somit muss gelten x + y + z = 1

Hierzu eine 3D-Grafik in GeoGebra.

In der (hellgrünen) Ebene E mit der Gleichung

x + y + z = 1

stellt jeder Punkt von E mit ausschließlich positiven Koordinaten eine mögliche Teilung der Strecke dar - alle Teilungen zusammen bilden das Innere des (rot gezeichneten) Dreiecks ABC mit A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).

Um aus den Teilstücken ein Dreieck bilden zu können, müssen die 3 Dreiecksungleichungen erfüllt sein:

(1) x + y > z, also z < x + y bzw. x + y - z > 0

(2) y + z > x, also z > x - y bzw. - x + y + z > 0

(3) z + x > y, also z > y - x bzw. x - y + z > 0

Es sind nun noch diese drei Ebenen eingezeichnet:

E1: x + y - z = 0 (blaugrau)

E2: - x + y + z = 0 (olivgrün)

E3: x - y + z = 0 (rosa)

Diejenigen inneren Punkte von Dreieck ABC, die ein Dreieck mit den Seitenlängen x, y, z ermöglichen, müssen also folgende drei Bedingungen erfüllen (Die z-Achse ist die vertikale Achse):

Wegen (1) müssen sie unterhalb von Ebene E1 liegen.

Wegen (2) müssen sie oberhalb von Ebene E2 liegen.

Wegen (3) müssen sie oberhalb von Ebene E3 liegen.

Das trifft genau für die inneren Punkte des Mittendreiecks von Dreieck ABC zu, dessen Flächeninhalt 1/4 der Fläche von Dreieck ABC ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus x, y, z ein Dreieck gebildet werden kann, ist folglich 1/4.

(Kontinuierliche, gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Dreieck ABC!)

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Nachdem mir Matthias seine Lösung mitgeteilt hat, habe ich doch noch über eine 2-dimensionale Lösung nachgedacht und habe im Wesentlichen die letzte von Dennis gefunden, der dazu noch das jeweils bildbare Dreieck zeigt - sehr schön.

Viele Grüße an alle

ottogal