Mathematik zum langen Wochenende - Lösung

[ottogal]

Hallo Dennis,

Am einfachsten ist es dann, einfach nur ein Teilstück zu betrachten. Sagen wir Teilstück $$a$$ in der Skizze. Wann ist dieses Teilstück größer als $$\frac{L}{2}$$? Genau dann, wenn beide Schnitte in der zweiten Hälfte der Strecke wären, also im Bereich größer $$\frac{L}{2}$$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schnitt die Bedingung erfüllt, ist $$P_1=0.5$$. Für beide Schnitte gilt dann $$P=P_1^2=25%$$.

Dieser Wert $$25%$$ wäre also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Dreieck zustande kommt... (??)

Aber nur, falls a das größte Teilstück ist (??)

Und man daher mit 3 multiplizieren muss (??)

Der Satz von Viviani besagt, dass die Summe der Abstände eines Punktes $$P$$ von den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks konstant ist.

Der Satz (allerdings nicht sein Name) war mir auch noch eingefallen, und ich habe es so formuliert:

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Man zeigt leicht: Fällt man von einem beliebigen Punkt im Innern eines gleichseitigen Dreiecks die Lote auf dessen Seiten, so ist die Summe der drei (roten) Lotstrecken stets gleich - sie ist gleich der Höhe des Dreiecks.

Wir betrachten die drei Lotstrecken daher als die drei Teilstücke der zerteilten Strecke.

Da keines davon länger sein darf als die halbe Summe (also als die halbe Höhe des Dreiecks), muss der Punkt, von dem sie ausgehen, innerhalb des (blauen) Mittendreiecks des großen Dreiecks liegen. Man erhält wieder die Wahrscheinlichkeit 1/4 als Anteil der blauen Fläche an der Gesamtfläche.

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Da meine mathematischen Erklärungen und insbesondere diese nicht sehr verständlich sind: Ein Bild sagt mehr als tausend Worte ;-)

Gute Idee, das entstehende Dreieck zu zeigen.

Danke nochmal für die immer wieder tollen Rätsel!

Dem schließe ich mich an!

Viele Grüße

ottogal