Mathematik zum langen Wochenende - Lösung

[Der-Dennis]

Hallo ottogal, hallo Matthias,

Am einfachsten ist es dann, einfach nur ein Teilstück zu betrachten. Sagen wir Teilstück $$a$$ in der Skizze. Wann ist dieses Teilstück größer als $$\frac{L}{2}$$? Genau dann, wenn beide Schnitte in der zweiten Hälfte der Strecke wären, also im Bereich größer $$\frac{L}{2}$$. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schnitt die Bedingung erfüllt, ist $$P_1=0.5$$. Für beide Schnitte gilt dann $$P=P_1^2=25%$$.

Dieser Wert $$25%$$ wäre also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Dreieck zustande kommt... (??)
Aber nur, falls a das größte Teilstück ist (??)
Und man daher mit 3 multiplizieren muss (??)

mMn. ja.

ja, zumindest war das die Idee, die aber durchaus auch falsch sein kann. Ich denke aber, dass diese Lösung eigentlich äquivalent bzw. eine Kurzform der dreifachen Anwendung der Dreiecksungleichung ist.

Ich hab die hier eigentlich nur gepostet, um einerseits Feedback zu bekommen, ob man das so überhaupt machen darf und um andererseits zu zeigen, dass es häufig mehrere Lösungswege gibt. Und diese verschiedenen Wege können zwar zum gleichen Ergebnis führen, können auf ihre Art und Weise aber auch „gut“ oder „schlecht“ sein, auch wenn sie formal richtig sind.

Der oben stehende Beweis, sofern er korrekt ist, ist schlecht, weil er aus meiner Sicht zwar sehr einfach, gleichzeitig aber ziemlich unverständlich (und wegen Umformulierungen und Auslassungen auch nicht ganz vollständig) ist.

Zum Hintergrund:

1. Meine erste Idee war die Dreiecksungleichung. Dabei bin ich mit den Wahrscheinlichkeiten immer durcheinander gekommen, als mir auffiel, dass ich ebenso wie andere hier die Wahrscheinlichkeiten auf unterschiedliche Längen bezogen hatte.
2. Viviani (den Namen des Satzes habe ich übrigens auch erst später gegoogelt). Das war dann der erste echte Lösungskandidat. Ich war aber zu faul und fand es schwierig, das vernünftig in Text zu verpacken. Dreimal „wie direkt ersichtlich“, „trivial“ und „lässt sich leicht zeigen“ fand ich für einen Beweis zu dürftig. Außerdem dachte ich, es muss eine einfachere Lösung als einen Satz geben.
3. Oben genannter Beweis. Den habe ich dann (zusammen mit Viviani als theoretische, aber noch nicht vollständige Lösung) an Matthias geschickt. Überzeugt war ich davon aber nicht wirklich, weil ich ihn recht unverständlich fand (und mir noch nicht sicher war, ob es noch einen Haken an der Aufgabe gibt).
4. Musste also eine einfachere Lösung her. Alle Bedingungen mal sauber aufgeschrieben und eine Skizze gemacht: Ah ja, dreimal Dreiecksungleichung. Daraus jetzt eine weitere Skizze => Matthias Lösung. Das war anschaulich und verständlich.
5. Nochmal zurück zu Viviani, bisschen ausprobiert, ok, passt. Kann ich zwar immer noch nicht gut erklären, Ergebnis sollte aber passen.
6. Drei Lösungsansätze, dreimal gleiches Ergebnis: Sollte also alles soweit richtig sein. Kleine Recherche, dabei noch einige interessante Sachen gelesen und wieder was gelernt :-)

Der Satz (allerdings nicht sein Name) war mir auch noch eingefallen, und ich habe es so formuliert: […]

Deutlich besser als meine Versuche!

Gute Idee, das entstehende Dreieck zu zeigen.

Finde ich auch. Da ich mich aber nicht gern mit fremden Federn schmücke: Das ist nicht von mir. Ich fand es aber ziemlich gut und hab es daher hier einfach übernommen. Quelle reiche ich ggf. nach. Da dort aber potenzielle weitere Rätsellösungen zu finden sein könnten, habe ich das hier erstmal weg gelassen.

Gruß
Dennis