Beweis und Anleitung

[Camping_RIDER]

Aloha ;)

Ich frage mich nur noch, ob man auch eine Anleitung angeben muss, wie das Ganze machbar ist. Sieht nicht GANZ einfach aus...

Nein, die Anleitung ist irrelevant - Mathematiker tun im Zweifelsfall nur das, was explizit von ihnen verlangt wird. Es genügt eine Beweisführung, die die Frage zweifelsfrei beantwortet. Eine Konstruktionsanleitung ist in vielen Fällen nur ein Beispiel, ein Beweis erfordert, dass auch sichergestellt ist, dass es keine Alternativen mit anderem Ausgang gibt. Eine Konstruktionsanleitung ist demnach nur dann ein Beweis, wenn ihre Alternativlosigkeit in Bezug auf die Fragestellung in irgendeiner Form gezeigt wird.

Da sich das Wochenende zum Ende neigt hier jetzt ein Beweis:

0.: Wie in mehreren Antworten in diesem Thread gezeigt ist ein Übermalen nicht möglich, da insgesamt $$6 \cdot 27 = 162$$ Flächen bemalt werden müssen und in allen drei Durchläufen insgesamt nur $$6 \cdot 9 \cdot 3 = 162$$ Flächen-Malvorgänge stattfinden. Ein Übermalen auch nur einer Fläche würde also bedeuten, die Bedingung, dass nachher alle Würfel vollständig bemalt sein sollen, zu verletzen.

1.: Bei jedem Durchlauf werden $$26$$ Würfel an mindestens einer Fläche bemalt und ein Würfel an keiner Fläche bemalt (der im Zentrum des Würfels). Es ergibt sich aus der Geometrie des Problems, dass es Würfelplätze mit $$1$$ (Zentrum einer Fläche), $$2$$ (Kante des großen Würfels mittig) und $$3$$ (Ecke des großen Würfels) Flächenbemalungen pro Durchlauf gibt, falls sich der Würfel nicht im Zentrum befindet.

2.: Damit ein Würfel nur zweifarbig ist, muss er also mindestens in einem Durchlauf im Zentrum gewesen sein. Das legt für die Anzahl der zweifarbigen Würfel eine obere Schranke von $$3$$ fest.

3.: Angenommen, ein Würfel befände sich bei zwei Durchläufen im Zentrum. Dann müssten beim dritten Durchlauf alle $$6$$ Flächen bemalt werden. Das stellt aber einen Widerspruch dazu dar, dass es nur Positionen mit maximal $$3$$ Flächenbemalungen je Durchlauf gibt. Daraus folgt, dass ein Würfel nicht zweimal im Zentrum sein kann und, dass es demnach auch keine einfarbigen Würfel gibt.

4.: Aus 2. und 3. folgt: Es gibt exakt drei Würfel, die bei je einem Durchlauf im Zentrum sind und demnach zweifarbig sind.

q.e.d.

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Weil ich aber nicht nur Mathematiker, sondern auch Physiker und damit ein wenig praktischer veranlagt bin, kriegst du gerne auch noch eine Anleitung. Ganz so kompliziert wie du denkst ist es nicht.

Für die dreifarbigen Würfel gibt es genau folgende Möglichkeiten, an allen $$6$$ Flächen bemalt zu werden:

1. $$3+2+1=6$$ - Eckposition, Kantenposition, Flächenmitte (unabhängig von der Reihenfolge)
2. $$2+2+2=6$$ - immer Kantenposition

Man kann sich leicht klarmachen, dass eine Bemalung der Flächen bei geeigneter Drehung so auch immer ohne Übermalen möglich ist.

Für die zweifarbigen Würfel gibt es genau eine Möglichkeit, an allen $6$ Flächen bemalt zu werden:

1. $$0+3+3=6$$ - Zentrumsposition, zweimal Eckposition (unabhängig von der Reihenfolge)

Nun gibt es im Würfel, wie man sich leicht klarmachen kann

• 6 Flächenmitten
• 12 Kantenpositionen
• 8 Eckpositionen
• 1 Zentrumsposition

Insgesamt $$6*3=18$$ der dreifarbigen Würfel können damit nach Methode 1 gefärbt werden, indem in sechs Gruppen zu je drei Würfeln zwischen Flächenmitte, Ecke und Kante rotiert wird. Damit sind in jedem Durchgang je $$6$$ Eck-, Kanten- und Flächenmittepositionen vergeben.

Wir haben also noch $$6$$ Kantenpositionen, bei denen die dreifarbigen Würfel nach Methode 2 ihre Position behalten und nur jedesmal geeignet um sich selbst gedreht werden.

Damit bleiben noch exakt $$2$$ Eckpositionen und die Zentrumsposition übrig, durch die die zweifarbigen Würfel rotieren.

Betrachtet man den Würfel Schicht für Schicht von oben und markiert die Positionen mit E/K/F/Z und die Gruppen, die ihre Plätze zyklisch tauschen, je mit einer Zahl (dreifarbig 1-6, zweifarbig 7) und die ortsfesten Würfel mit einem -, so ergibt sich zum Beispiel dieses Bild:

    oben           mitte          unten
+---+---+---+  +---+---+---+  +---+---+---+
|E 1|K 1|E 7|  |K 2|F 2|K 4|  |E 2|K -|E 4|
+---+---+---+  +---+---+---+  +---+---+---+
|K -|F 1|K -|  |F 3|Z 7|F 4|  |K -|F 6|K -|
+---+---+---+  +---+---+---+  +---+---+---+
|E 7|K -|E 5|  |K 3|F 5|K 5|  |E 3|K 6|E 6|
+---+---+---+  +---+---+---+  +---+---+---+

Grüße,

RIDER