Mathematik zum Sonntagnachmittagskaffee

[ottogal]

Hallo Matthias,

kleine Typos:

Der obere „Halbkreis“ der Torte hat die Gleichung

$$ g(x) = \sqrt{ r^2 \pm x^2 } + d \cdot r $$

$$ g(x) = \sqrt{ r^2 - x^2 } + d \cdot r $$

• Fläche ist $$ \int_0^{x_s} (g(x)-h(x)),\mathrm dy $$

$$ \int_0^{x_s} (g(x)-h(x)),\mathrm dx $$

Der rechte Schnittpunkt hat die x-Koordinate

$$x_s = {{}\sqrt{3} d + \sqrt{4 - d^2} \over 4} * r$$

Man kann sich die mühsame Integration sparen, wenn man das (größtmögliche) Tortenstück als Summe einer Sektorfläche und einer Dreiecksfläche ermittelt:

Der zu dem Sektor gehörende Zentrumswinkel ist $$\alpha = \arcsin{x_s \over r}$$. Nimmt man ihn im Bogenmaß, so gilt das Verhältnis

$$Sektorfläche : Kreisfläche = \alpha : 2\pi$$

Mit der $$Kreisfläche = \pi r^2$$ hat der Sektor daher den Flächenwert

$$Sektor$$ = $${ 1\over 2}{\alpha} *r^2$$ = $${ 1\over 2} * {\arcsin{x_s \over r}}*r^2 = { 1\over 2} * {\arcsin{{}\sqrt{3} d + \sqrt{4 - d^2} \over 4}}*r^2$$.

Der Flächenwert des schmalen Dreiecks mit der Grundseite $$d*r$$ und der Höhe $$x_s$$ ist

$$Dreieck = {1 \over 2}drx_s = {1 \over 2}d*{{}\sqrt{3} d + \sqrt{4 - d^2} \over 4}*r^2$$.

Somit hat das größtmögliche Tortenstück den Flächenwert

$$T_1 = {1 \over 2}(\arcsin{{\sqrt{3}d + \sqrt{4 - d^2}} \over 4} + d{{\sqrt{3}d + \sqrt{4 - d^2}} \over 4})*r^2$$.

Division durch die Kreisfläche $$\pi r^2$$ ergibt dafür den Anteil

$${1 \over 2\pi}(\arcsin{{\sqrt{3}d + \sqrt{4 - d^2}} \over 4} + d{{\sqrt{3}d + \sqrt{4 - d^2}} \over 4})$$.

Analog geht die Rechnung für das kleinste Tortenstück (wobei man aber von einem Sektor ein Dreieck abzuziehen hat).