Mathefrage (keine Wettbewerbsaufgabe)

[TS]

Hello,

wie groß sind die maximalen und die minimalen Winkelsummen (Innenwinkel!) von einem Zweieck und einem Dreieck?

Liebe Grüße
Tom S.

[Matthias Apsel]

Hallo TS,

wie groß sind die maximale und die minimale Winkelsumme (Innenwinkel!) von einem Zweieck und einem Dreieck?

ebene Figuren? Euklidische Geometrie?

Zweiecke gibt es in der Ebene ja nicht. Auf der Kugel? Einem Ovoid?

Bis demnächst
Matthias

[TS]

Hello,

wie groß sind die maximale und die minimale Winkelsumme (Innenwinkel!) von einem Zweieck und einem Dreieck?

Zweiecke gibt es in der Ebene ja nicht. Auf der Kugel? Einem Ovoid?

Oh, ich bitte um Verzeihung. Die Hälfte der Aufgabe ist verloren gegangen:

• kuf der (idealen) Kugeloberfläche
• keiner der Winkel darf größer als 90° sein

Liebe Grüße
Tom S.

[Gunnar Bittersmann]

@@TS

• keiner der Winkel darf größer als 90° sein

1. Warum nicht?

2. Dann hast du doch schon die maximale Winkelsumme‽ Ein Zweieck hat zwei Ecken (wer hatte das gedacht‽), also zwei Innenwinkel. Dreieck analog. 2 × 90° bzw. 3 × 90° auszurechnen solltest du hinbekommen.

LLAP 🖖

[TS]

Hello,

• keiner der Winkel darf größer als 90° sein

1. Warum nicht?

Weiß ich nicht. Ist eine Vorgabe.

2. Dann hast du doch schon die maximale Winkelsumme‽ Ein Zweieck hat zwei Ecken (wer hatte das gedacht‽), also zwei Innenwinkel. Dreieck analog. 2 × 90° bzw. 3 × 90° zu auszurechnen solltest du hinbekommen.

Ich kann mir das nicht vorstellen, ob z. B. bei 2x90° die beiden Punkte immer direkt gegenüber liegen müssen (auf der Achse durch den Kugelmittelpunkt)?

Und bei dreien hört es dann ganz auf tztz

Ich werde mir wohl mal einen großen Styroporball kaufen und den mit Nadeln und Fäden traktieren ;-)

Bei der Aufgabe geht es vermutlich darum, später iterative Verfahren zu finden (also keine mathematischen Formeln) für gute Näherungslösungen. Den zweiten Teil der Aufgabe habe ich aber noch nicht. Nach meinem Empfinden ist das dann die Vorstufe der Integral- und Differnzialrechnung.

Liebe Grüße
Tom S.

[Tabellenkalk]

Hallo,

Und bei dreien hört es dann ganz auf tztz

Fun-fact: das Zweieck mit 2 90°-Winkeln ist doppelt so groß, wie das Dreieck mit 3 90°-Winkeln auf der gleichen Kugeloberfläche.

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@TS

Ich kann mir das nicht vorstellen, ob z. B. bei 2x90° die beiden Punkte immer direkt gegenüber liegen müssen (auf der Achse durch den Kugelmittelpunkt)?

Wenn du dir’s nicht vorstellen kannst, warum liest du dann nicht nach? Wikipedia: Kugelzweieck

Und bei dreien hört es dann ganz auf tztz

Siehe auch: Kugeldreieck

Ich werde mir wohl mal einen großen Styroporball kaufen und den mit Nadeln und Fäden traktieren ;-)

Wie wär’s damit, den großen Ball auf deinem Hals zu verwenden und den mit Vorstellungskraft zu traktieren? ;-)

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Kugelzweieck

Das ist ja im Grunde genommen ein Spezialfall, wenn auch per Definition: Seiten liegen auf Großkreisen.

Aber man könnte sich auch ein Zweieck vorstellen, indem man zwei beliebige Breitenkreise sich schneiden lässt, die dann natürlich unterschiedliche Pole haben würden.

Gruß
Kalk

[Rolf b]

Hallo Tabellenkalk,

kann man. Hatte ich auch getan - bis ich genauer gelesen hatte was die Wikipedianer aus dem Bronstein abgepinnt haben. Entweder hat sich die Mathematik mit solchen Dingern nicht beschäftigt, oder die deutsche Wikipedia ist wieder mal zu oberflächlich.

Die englische Wikipedia unterscheidet zwischen einem „Digon“ und einem „Spherical Lune“. Das Digon ist das von Dir genannte, verallgemeinerte Zweieck, und das Spherical Lune das Großkreiszweieck der deutschen Wikipedia.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf b

Die englische Wikipedia unterscheidet zwischen einem „Digon“ und einem „Spherical Lune“. Das Digon ist das von Dir genannte, verallgemeinerte Zweieck,

Digon bezeichet allgemein ein Zweieck. Spherical lune ist das Zweieck auf einer Kugel, um das es ja hier geht.

LLAP 🖖

[TS]

Hello,

Kugelzweieck

Das ist ja im Grunde genommen ein Spezialfall, wenn auch per Definition: Seiten liegen auf Großkreisen.

Aber man könnte sich auch ein Zweieck vorstellen, indem man zwei beliebige Breitenkreise sich schneiden lässt, die dann natürlich unterschiedliche Pole haben würden.

##Ich stelle mir das jetzt so vor:
Die beiden Punkte müssen durch zwei Strecken verbunden werden, die jeweils die kürzest mögliche Länge haben.

Wenn einer der Punkte nicht auf einem Pol (als Endpunkt einer Mittelpunktsachse, also nicht gegenüber dem anderen) liegt, hätte man eine andere (größere) Krümmung der einen Verbindungslinie gegenüber der anderen. Damit wäre sie dann nicht die kürzeste Verbindungsstecke der beiden Punkte auf der Kugeloberfläche. Eine Fläche kann nur eingeschlossen bleiben (als Bedingung für ein "N-Eck"), wenn die beiden Verbindungslinien nicht aufeinanderfallen. Das ist aber wg. obiger Bedingung nur möglich, wenn sie gleich lang und gleich krumm sind, also nicht weiter verkürzbar.

Ist das so richtig?

Liebe Grüße
Tom S.

[Tabellenkalk]

Hallo,

Die beiden Punkte müssen durch zwei Strecken verbunden werden, die jeweils die kürzest mögliche Länge haben.
[…]
Ist das so richtig?

Für mich sieht es so aus: Wenn es zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche mehr als eine kürzeste Verbindung gibt, dann gibt es unendlich viele, weil dann die Punkte auf den Antipoden liegen.

Gruß
Kalk

[TS]

Hello,

Die beiden Punkte müssen durch zwei Strecken verbunden werden, die jeweils die kürzest mögliche Länge haben.
[…]
Ist das so richtig?

Für mich sieht es so aus: Wenn es zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche mehr als eine kürzeste Verbindung gibt, dann gibt es unendlich viele, weil dann die Punkte auf den Antipoden liegen.

Genau so habe ich es gemeint.
In allen anderen Fällen würden sie immer aufeinander fallen müssen und damit keine Fläche mehr umschreiben.

Liebe Grüße
Tom S.

[Rolf b]

Hallo TS,

das stellst Du Dir richtig vor. Wenn meine Vorstellung von Deiner Vorstellung richtig ist…

Wenn die beiden Punkte einander nicht gegenüber liegen, gibt es nur eine kürzeste Verbindung zwischen ihnen und dein Zweieck ist ein Strich.

Rolf

[JürgenB]

Hallo Tom,

ein Punkt ist der Nordpol, der zweite liegt auf dem Äquator bei Längengrad 0° und der dritte am Äquator beim Längengrad 90°. Am Nordpol treffen sich der 0te und der 90ste Längengrad unter 90°, den Äquator schneiden alle Längengrade unter 90°.

Gruß
Jürgen

[Rolf b]

Hallo TS,

guckst Du Wikipedia - die Ecken eines Kugelzweiecks liegen sich IMMER gegenüber, weil es als Schnitt zweier Großkreise definiert ist. Wenn die Ecken sich nicht gegenüberliegen, liegen nicht beide Seiten auf zwei verschiedenen Großkreisen.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Wenn die Ecken sich nicht gegenüberliegen, liegen nicht beide Seiten auf zwei verschiedenen Großkreisen.

Zwei Doofe, ein Gedanke…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@TS

Ich kann mir das nicht vorstellen, ob z. B. bei 2x90° die beiden Punkte immer direkt gegenüber liegen müssen (auf der Achse durch den Kugelmittelpunkt)?

Müssen sie. Wenn Hin- und Rückweg ein Zweieck bilden sollen und du am Nordpol losläufst, musst du bis zum Südpol laufen. Und dabei singen: Ich geh vom Nordpol zum Südpol zu Fuß …

LLAP 🖖

[TS]

Hello,

Ich kann mir das nicht vorstellen, ob z. B. bei 2x90° die beiden Punkte immer direkt gegenüber liegen müssen (auf der Achse durch den Kugelmittelpunkt)?

Müssen sie. Wenn Hin- und Rückweg ein Zweieck bilden sollen und du am Nordpol losläufst, musst du bis zum Südpol laufen. Und dabei singen: Ich geh vom Nordpol zum Südpol zu Fuß …

Was Du alles kennst! Was hast Du bloß für einen Musikgeschmack? ;-P

Liebe Grüße
Tom S.

[Matthias Apsel]

Hallo TS,

wie groß sind die maximalen und die minimalen Winkelsummen (Innenwinkel!) von einem Zweieck und einem Dreieck?

Wenn man eine Kugel zugrunde legt, liegen sich die Ecken des Zweiecks genau gegenüber. Die beiden Winkel sind kongruent, jeder ist maximal 360° groß. Macht 720°. Dann hättest du die ganze Kugelfläche.

Beim Dreieck ist das Maximum ebenfalls die gesamte Kugelfläche. Auch dann sind alle Winkel 360°, macht 1080°.

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

Beim Dreieck ist das Maximum ebenfalls die gesamte Kugelfläche. Auch dann sind alle Winkel 360°, macht 1080°.

öh, da hab ich grad Vorstellungsschwierigkeiten, magst du das mal eben aufmalen?

Gruß
Kalk

[TS]

Hello,

Beim Dreieck ist das Maximum ebenfalls die gesamte Kugelfläche. Auch dann sind alle Winkel 360°, macht 1080°.

öh, da hab ich grad Vorstellungsschwierigkeiten, magst du das mal eben aufmalen?

ich sowieso, darum ahbe ich ja gefragt.
Die Seitenlinien dürfen sich nicht schneiden, aber das sollte doch Standardbedingung sein? Oder hätte ich das auch noch als Randbedingung geben müssen?

Liebe Grüße
Tom S.

[Rolf b]

Hallo Tabellenkalk

ich auch. Ich male vor mich auf den Tisch ein winzigkleines Dreieck. Fast schon ein Punkt. Die Winkelsumme der Innenwinkel beträgt $$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ+\epsilon$$, wenn ich den Tisch als Teil der gekrümmten Erdoberfläche ansehe. ϵ ist auf meinem Tisch recht klein, aber eben nicht Null, wenn ich meinen Tisch als Teil der Erdoberfläche ansehe.

Nun betrachte ich die Außenseite dieses Dreieckleins. Auch das ist ein Dreieck, und zwar eins, das die ganze Erdoberfläche bedeckt. Die ganze? - Nein, nicht die ganze, im winzigkleinen Dreieck sitzen noch ein paar Gallier und wehren sich.

Die Winkelsumme des Außendreiecks beträgt $$(360^\circ-\alpha)+(360^\circ-\beta)+(360^\circ-\gamma) = 3\cdot 360^\circ-180^\circ-\epsilon = 900^\circ-\epsilon$$.

So stelle ich mir das in meiner Naivität vor. Ich habe Schwierigkeiten, mir vorzustellen, dass das auf einmal auf 1080° springt wenn ich den Grenzübergang vom winzigkleinen Dreieck zum Punkt mache. Nur ϵ läuft dann gegen 0.

Edit: Back from Wikipedia - die sehen das genauso. $$5\pi$$ sind nach meiner Rechnung 900°.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf b,

Die Winkelsumme des Außendreiecks beträgt $$(360^\circ-\alpha)+(360^\circ-\beta)+(360^\circ-\gamma) = 3\cdot 360^\circ-180^\circ-\epsilon = 900^\circ-\epsilon$$.

Korrekt. Ich war etwas vorschnell im Denken.

Bis demnächst
Matthias