Mathematik zur Wochenmitte

[ottogal]

Die Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl $$a$$ ist definiert als die nicht-negative Zahl, deren Quadrat gleich $$a$$ ist. Eine Wurzel kann also per definitionem nicht negativ sein.

Genau so ist es. Folglich gilt $$\sqrt{x^2 - 21} >= 0$$, und daher auch $$x >= 7$$

Durch das Quadrieren beider Seiten entsteht eine neue Gleichung mit einer zusätzlichen Lösung: eben $$5$$. Aber die erfüllt eben nicht die Bedingung $$x >= 7$$; die ursprüngliche Gleichung hat daher eine leere Lösungsmenge.

Allgemein:

Die Gleichungen $$x = b$$ und $$x^2 = b^2$$ sind nicht äquivalent (heißt: haben nicht die gleiche Lösungsmenge). Letztere ist gleichwertig damit, dass $$x$$ und $$b$$ gleichen Betrag haben (finde nicht das Markdown für den Absolutbetrag), was zur Lösungsmenge {$${b, -b}$$} führt, während erstere die Lösungsmenge {$$b$$} hat.