Mathematik zur Wochenmitte

[Gunnar Bittersmann]

Nach der janzen Jeometrie nu’ mal anderet:

$$x - \sqrt{x^2 - 21} = 7$$

Jesucht is’ x.

LLAP 🖖

[dedlfix]

Tach!

Jesucht is’ x.

5

dedlfix.

[Christian Kruse]

Hallo dedlfix,

Jesucht is’ x.

5

rotfl - made my day, danke 😂

LG,
CK

[Gunnar Bittersmann]

@@dedlfix

Jesucht is’ x.

5

Das ist wohl nicht die Antwort. (Die ist ja 42.)

Nächster Versuch?

LLAP 🖖

[ottogal]

Witzig. Hat den Charme der (zumindest teilweise non-fake-) Geschichte der "Indiana Pi Bill"...

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Geschichte der "Indiana Pi Bill"...

Na bloß gut, dass das heute nicht mehr vorkommt, dass Politiker ohne Sachverstand Gesetze beschließen.

Oh wait! Netzwerkdurchsetzungsgesetz, Leistungsschutzgesetz, …

LLAP 🖖

[Christian Kruse]

Hallo Gunnar,

Geschichte der "Indiana Pi Bill"...

Na bloß gut, dass das heute nicht mehr vorkommt, dass Politiker ohne Sachverstand Gesetze beschließen.

Oh wait! Netzwerkdurchsetzungsgesetz, Leistungsschutzgesetz, …

Ich vermute die Ursache für diese Gesetze nicht in mangelndem Sachverstand, sondern in anderen Lebenswirklichkeiten gepaart mit Interessen-Politik für ein ganz bestimmtes Klientel.

Mangelnden Sachverstand möchte ich aber nicht ausschließen 😝

LG,
CK

[ottogal]

Es gibt keine Lösung.

[Henry]

Hallo,

8,37 ?

[Gunnar Bittersmann]

@@Henry

~ 8,37 ?

Nö. Auch nicht ungefähr.

LLAP 🖖

[Henry]

Nö. Auch nicht ungefähr.

Dann schließe ich mich Ottogal an "Es gibt keine Lösung" 😉

[Rolf b]

Und nun noch eine saubere Begründung. Das ist wohl die eigentlich Aufgabe...

Rolf

[Henry]

Hallo,

Und nun noch eine saubere Begründung. Das ist wohl die eigentlich Aufgabe...

weil -21 nie = 7 sein kann?

[Henry]

Hallo,

ich werde hier nicht ganz aus den Einträgen schlau... Steht die Antwort schon fest?

Bin leider kein Mathefreak, deshalb ist die Diskussion hier für mich auch schwer verständlich, aber ich sehe das in meiner simplen Anschauung in etwa so:

Alles was links neben -21( kann das leider nicht so schön wie ihr darstellen) steht, hebt sich im Grunde auf, daher auch mein -21 !=7

Beispiel mit 16

16-sqrt(16*16 -21) = 7
16 -sqrt(256 - 21) = 7
16 -sqrt(235) = 7 --- korrigiert 235 natürlich ---
16 - ~15.33 = 7

Ich weiss zwar, das ist mathematisch nicht korrekt aber diese "fast Aufhebung" ist doch nicht zu übersehen, oder?

Gruss
Henry

[Gunnar Bittersmann]

@@Henry

ich werde hier nicht ganz aus den Einträgen schlau... Steht die Antwort schon fest?

Ja. Die Gleichung hat keine Lösung.

Die Probe zeigt: Die bei der Umforung herauskommende 5 ist nicht Lösung der Gleichung.

Alles was links neben -21( kann das leider nicht so schön wie ihr darstellen) steht, hebt sich im Grunde auf, daher auch mein -21 !=7

Ich werde hier nicht ganz aus deinen Ausführungen schlau …

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Alles was links neben -21( kann das leider nicht so schön wie ihr darstellen) steht, hebt sich im Grunde auf, daher auch mein -21 !=7

Ich werde hier nicht ganz aus deinen Ausführungen schlau …

Der falsche Gedanke ist: $$x - \sqrt{x^2-21} = x - x + \sqrt{21}$$

Bis demnächst
Matthias

[Henry]

Hallo Gunnar,

Ja. Die Gleichung hat keine Lösung.

Ok

Ich werde hier nicht ganz aus deinen Ausführungen schlau …

Weil mir die mathematischen Techniken fehlen, habe ichs mir so erklärt: Wenn ich 6 Äpfel habe und mind. 4 wieder davon abziehe, kann ich nie 7 Äpfel haben, denn die Gleichung bezieht x ja immer wieder als Subtrahend wieder ein in einer Form, dass abzgl. der -21 (bzw. Wurzel daraus) immer eine kleinere Zahl als 7 rauskommen muss. Nicht wissenschaftlich, aber logisch(hoffe ich).

Gruss
Henry

[Matthias Apsel]

Hallo Henry,

( kann das leider nicht so schön wie ihr darstellen)

SELFHTML:Forum/Formatierung der Beiträge #LaTeX

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf b

Und nun noch eine saubere Begründung. Das ist wohl die eigentlich Aufgabe...

Ich weiß nicht, ob dedlfix mit seinem Posting sagen wollte, dass x = 5 Lösung sei. Man kann sich leicht vom Gegenteil überzeugen.

Aber wo steckt in der Rechnung der Fehler?

$$\begin{align} x - \sqrt{x^2 - 21} &= 7
x - 7 &= \sqrt{x^2 - 21}
\left( x - 7 \right)^2 &= x^2 - 21
x^2 - 14x + 49 &= x^2 - 21
-14x &= -70
x &= 5 \end{align}$$

LLAP 🖖

[JürgenB]

Hallo Gunnar,

ich kann nur einen grafischen Ansatz liefern:

https://www.j-berkemeier.de/FktPlot.html?xmin=4.58257569495584;xmax=20;f1=x-sqrt(x*x-21)-7

hat keine Nullstelle.

Gruß
Jürgen

PS: Ich habe übrigens auch 5 berechnet 😟

[Linuchs]

$$\begin{align} x - \sqrt{x^2 - 21} &= 7
x - 7 &= \sqrt{x^2 - 21}
\left( x - 7 \right)^2 &= x^2 - 21
x^2 - 14x + 49 &= x^2 - 21
-14x &= -70
x &= 5 \end{align}$$

Kann nicht sein. Wenn ich die 5 in die Aufgabe einsetze:

$$\begin{align} x - \sqrt{x^2 - 21} &= 7
5 - \sqrt{25 - 21} &= 7
5 - 2 &= 7
\end{align}$$

Hä?

Linuchs

[Linuchs]

Moment ... Das Ergebnis einer Wurzel kann ja auch negativ sein.

[Gunnar Bittersmann]

@@Linuchs

Moment ... Das Ergebnis einer Wurzel kann ja auch negativ sein.

Nein.

LLAP 🖖

[Linuchs]

Moment ... Das Ergebnis einer Wurzel kann ja auch negativ sein.

Nein.

Wurzel aus 4 = (-2)

Kontrolle: (-2)² = 4

[Christian Kruse]

Hallo Linuchs,

Moment ... Das Ergebnis einer Wurzel kann ja auch negativ sein.

Nein.

Wurzel aus 4 = (-2)

Kontrolle: (-2)² = 4

Die Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl $$a$$ ist definiert als die nicht-negative Zahl, deren Quadrat gleich $$a$$ ist. Eine Wurzel kann also per definitionem nicht negativ sein. (Und ich denke, dass das hier auch der Fehler ist, von Schritt 2 auf 3; aber das ist zu lange her bei mir um sicher zu sein)

LG,
CK

[ottogal]

Die Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl $$a$$ ist definiert als die nicht-negative Zahl, deren Quadrat gleich $$a$$ ist. Eine Wurzel kann also per definitionem nicht negativ sein.

Genau so ist es. Folglich gilt $$\sqrt{x^2 - 21} >= 0$$, und daher auch $$x >= 7$$

Durch das Quadrieren beider Seiten entsteht eine neue Gleichung mit einer zusätzlichen Lösung: eben $$5$$. Aber die erfüllt eben nicht die Bedingung $$x >= 7$$; die ursprüngliche Gleichung hat daher eine leere Lösungsmenge.

Allgemein:

Die Gleichungen $$x = b$$ und $$x^2 = b^2$$ sind nicht äquivalent (heißt: haben nicht die gleiche Lösungsmenge). Letztere ist gleichwertig damit, dass $$x$$ und $$b$$ gleichen Betrag haben (finde nicht das Markdown für den Absolutbetrag), was zur Lösungsmenge {$${b, -b}$$} führt, während erstere die Lösungsmenge {$$b$$} hat.

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Genau so ist es. Folglich gilt $$\sqrt{x^2 - 21} >= 0$$, und daher auch $$x >= 7$$

>=? Grmpf.

Also wenn schon in schön, dann richtig™: $$\ge$$ – in TeX: \ge

Und in Unicode: ≥ (U+2265)

LLAP 🖖

[ottogal]

Sorry, und danke: hatte vergeblich Verschiedenes probiert. Wo finde ich denn eine Referenzliste für die TeX-Syntax?

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Wo finde ich denn eine Referenzliste für die TeX-Syntax?

Ich konsultiere so gut wie jedes Mal, wenn ich hier was in LaTeX schreibe, die Wikipedia-Hilfe:TeX.

Mehrzeilig mit Gleichheitszeichen untereinander – das merk ich mir nie, wie das geht. Hauptsache, man weiß, wo’s steht. 😜

LLAP 🖖

[ottogal]

Thanks Gunnar - hilfreich!

[Gunnar Bittersmann]

@@Christian Kruse

Und ich denke, dass das hier auch der Fehler ist, von Schritt 2 auf 3

Nein und ja. 😉

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Linuchs

Wurzel aus 4 = (-2)

Nein, das nicht.

Kontrolle: (-2)² = 4

Aber beide Zeilen zusammen batrachtet führen dazu, was bei der Rechnung im Argen liegt.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Linuchs

Kann nicht sein. Wenn ich die 5 in die Aufgabe einsetze: […] 5 − 2 = 7

Genau das meinte ich mit „Man kann sich leicht vom Gegenteil überzeugen.“

Hä?

Tja, wo ist nun der Fehler in der Rechnung?

LLAP 🖖

[Rolf b]

Vielleicht hat er an strategischer Stelle einen kleinen vertikalen Ritz im Bildschirm...

Mathematik ist ein schönes Spielzeug. Außer mit Quadraten gibt's auch andere Möglichkeiten, seinen Fuß zu verstümmeln:

Seien a,b reelle Zahlen und es gelte $$ a - b = c $$ mit $$c \ne 0$$, d.h. a und b seien verschieden.

Diese Verschiedenheits-Aussage multipliziere ich mit $$(a-b)$$:
$$ (a-b)(a+c)=(a-b)b $$

ausmultiplizieren
$$ a^2+ac-ab-bc = ab-b^2 $$

-bc auf die andere Seite und leicht umsortieren
$$ a^2+ac-ab = ab+bc-b^2 $$

links a und rechts b ausklammern
$$ a(a+c-b) = b(a+c-b) $$

durch (a+c-b) dividieren:
$$ a = b $$

Ta-dah: Wenn zwei Zahlen gleich sind, sind sie verschieden.

Rolf

[ottogal]

$$ (a-b)(a+c)=(a-b)b $$

Das muss wohl $$ (a-b)(a-c)=(a-b)b $$ heißen. (Ist außerdem keine "Verschiedenheitsaussage", was du da multiplizierst.)

[Rolf b]

Das kommt davon, wenn man fertig ist und dann nochmal was umformuliert; zuerst hatte ich a+c=b da stehen... Dafür passte die Näquivalenzumformung.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf b

durch (a+c-b) dividieren:

„Aber Papi, dann muss ja jeder von uns unendlich viele Torten essen!“

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

„Aber Papi, dann muss ja jeder von uns unendlich viele Torten essen!“

Aber dafür kann man dann endlich mal ausschlafen...

Gruß
Kalk

[Rolf b]

Torten nicht, die werden ja geteilt. Es gibt nur unendlich viele Tortenstücke 😛

Und mit all den Stücken treffen wir uns dann zum Kaffee in Hilberts Hotel. Ausschlafen ist da allerdings schwierig, wegen der ständigen Zimmerwechselei.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Aber wo steckt in der Rechnung der Fehler?

Die Frage war natürlich tückisch. Es steckt kein Fehler in der Rechnung. Der Fehler kommt danach.

$$\begin{align} x - 7 &= \sqrt{x^2 - 21}
\left( x - 7 \right)^2 &= x^2 - 21 \end{align}$$

An der Stelle wird quadriert. Was man beim Lösen von Wurzelgleichungen eben machen muss. Nur muss man im Auge behalten, dass Quadrieren keine äquivalente Umformung ist. (ottogal sagte es schon.) Durch das Quadrieren ändert sich möglicherweise die Lösungsmenge; es können Lösungen hinzukommen. (Aber keine wegfallen. Sonst wäre das Quadrieren als Schritt zur Lösung der Gleichung ja auch sinnfrei.)

Der Fehler ist, wenn man nicht die Probe macht, ob x = 5 tatsächlich Lösung der Ursprungsgleichung ist.

Wenn man nur äquivalente Umformungen verwendet, kann man danach die Probe machen, ob man sich nicht verrechnet hat.

Wann immer man aber nicht-äquivalent umformt, muss man danach die Probe machen. Und das hat nichts mit Sich-Verrechnen zu tun.

LLAP 🖖

[Christian Kruse]

Hallo Gunnar,

An der Stelle wird quadriert. Was man beim Lösen von Wurzelgleichungen eben machen muss. Nur muss man im Auge behalten, dass Quadrieren keine äquivalente Umformung ist. (ottogal sagte es schon.) Durch das Quadrieren ändert sich möglicherweise die Lösungsmenge; es können Lösungen hinzukommen. (Aber keine wegfallen. Sonst wäre das Quadrieren zur Lösung der Gleichung ja auch sinnfrei.)

Dann lag ich mit meiner Vermutung ganz richtig 😀 denn das war genau das Problem, was ich in Verdacht hatte.

LG,
CK

[Gunnar Bittersmann]

@@Christian Kruse

Dann lag ich mit meiner Vermutung ganz richtig 😀 denn das war genau das Problem, was ich in Verdacht hatte.

Nur dass es kein Fehler ist, von Zeile 2 zu Zeile 3 zu gehen. Sondern völlig richtig, man muss diesen Schritt sogar tun.

LLAP 🖖

[Christian Kruse]

Hallo Gunnar,

Dann lag ich mit meiner Vermutung ganz richtig 😀 denn das war genau das Problem, was ich in Verdacht hatte.

Nur dass es kein Fehler ist, von Zeile 2 zu Zeile 3 zu gehen. Sondern völlig richtig, man muss diesen Schritt sogar tun.

Ich sagte ja auch nicht, dass es ein Fehler ist von Zeile 2 zu 3 zu gehen, sondern dass der Fehler dort liegt. 😉

Aber auch das ist ungenau und ja, ich hätte mich genauer ausdrücken sollen, du hast recht.

LG,
CK

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

$$\begin{align} x - 7 &= \sqrt{x^2 - 21}
\left( x - 7 \right)^2 &= x^2 - 21 \end{align}$$

An der Stelle wird quadriert. Was man beim Lösen von Wurzelgleichungen eben machen muss. Nur muss man im Auge behalten, dass Quadrieren keine äquivalente Umformung ist.

Wobei Quadrieren dann doch eine äquivalente Umformung ist, wenn beide Seiten der Gleichung dasselbe Vorzeichen haben.

Da die rechte Seite nichtnegativ ist, ist Quadrieren eine äquivalente Umformung, wenn auch die linke Seite nichtnegativ ist, also wenn x ≥ 7.

Unter der Bedingung x ≥ 7 muss man dann am Ende keine Probe machen. Allerdings erhält man gar nicht erst eine Lösung, da 5 ja die Bedingung nicht erfüllt.

(ottogal sagte es schon.)

Auch das.

LLAP 🖖

[Encoder, schon wieder nicht benutzbar]

Eine Überlegung zur Funktion.

Der Ausdruck unter der Wurzel muss größergleich 0 sein. Dazu muss x² >= 21 sein, also x >= 4,58...
(oder x kleiner -4,.... aber für negative x bleibt der ganze Ausdruck negativ und wird nie 7 sein)

Für größere x geht die Wurzel immer mehr gegen x, x - Wurzel geht daher immer mehr gegen Null. Die Funktion hat demnach für oben genanntes x ihren Höchstwert, nämlich 4,58... was immer noch kleiner als 7 ist.

[Gunnar Bittersmann]

@@Encoder, schon wieder nicht benutzbar

Für größere x geht die Wurzel immer mehr gegen x

Herleitung?

x - Wurzel geht daher immer mehr gegen Null. Die Funktion hat demnach für oben genanntes x ihren Höchstwert, nämlich 4,58... was immer noch kleiner als 7 ist.

Demnach? Du hast AFAIS nicht untersucht, wie sich die Funktion zwischen oben genanntem x und dem Unendlichen verhält.

LLAP 🖖

[Encoder, schon wieder nicht benutzbar]

doch ich habs zeichnen lassen, meine Annahme stimmt schon.
Ich meinte den Ausdruck x minus Wurzel, vielleicht ging das unter. Der Ausdruck in der Wurzel wird für größer werdendes x immer ähnlicher zu x. x minus fast x ist annähernd Null.

Mit Funktion meinte ich die linke Seite der Gleichung: x - Wurzel(...)

[Gunnar Bittersmann]

@@Encoder, schon wieder nicht benutzbar

doch ich habs zeichnen lassen

Das zählt nicht.

Wenn zu zeigst, dass die Funktion streng monoton ist, kannst du ja so argumentieren. Nur zeigen musst du’s.

LLAP 🖖

[encoder]

Wirklich bewiesen hab ichs nicht.
Meine Überlegung war dass das Quadrat einer Zahl mit steigender Zahl quadratisch, also immer stärker wächst. Anschaulich sind für mit gleicher Differenz aufeinanderfolgende Zahlen deren Quadrate immer weiter voneinander entfernt.
Im Umkehrschluss rückt die Wurzel aus x² plus einer Konstanten immer mehr an das zugrundeliegende x heran.

[Gunnar Bittersmann]

@@encoder

Wirklich bewiesen hab ichs nicht.
Meine Überlegung war dass das Quadrat einer Zahl mit steigender Zahl quadratisch, also immer stärker wächst. Anschaulich sind für mit gleicher Differenz aufeinanderfolgende Zahlen deren Quadrate immer weiter voneinander entfernt.
Im Umkehrschluss rückt die Wurzel aus x² plus einer Konstanten immer mehr an das zugrundeliegende x heran.

?? Der Umkehrschluss wäre, dass die Wurzel aus x mit steigendem x immer langsamer wächst. Der Graph ist ja der an y = x gespiegelte Parabelast, der nach rechts hin immer flacher verläuft. (Das könnte damit zusammenhängen, dass $$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$$ immer kleiner wird. 😉)

Das mit x² plus einer Konstanten ist deine Intuition. Die ist in der Mathematik auch oft gefragt. Nur Intuition allein reicht nicht. Beweisen muss man’s schon noch.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Für größere x geht die Wurzel immer mehr gegen x

Herleitung?

$$\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2-21} = x$$

fällt unter „Wie man leicht sieht“.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

$$\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2-21} = x$$

fällt unter „Wie man leicht sieht“.

Das sagte Fermat über seinen Letzten Satz auch.

Aber jetzt sehe ich’s auch:

$$\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2-21} = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1-\frac{21}{x^2}} \right)$$

Soweit war ich vorhin schon, hatte mich aber verkuckt. Ich dachte, da stünde unendlich mal null, aber der Wurzelausdruck geht ja gegen 1.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Aber jetzt sehe ich’s auch:

$$\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2-21} = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1-\frac{21}{x^2}} \right)$$

Soweit war ich vorhin schon, hatte mich aber verkuckt. Ich dachte, da stünde unendlich mal null, aber der Wurzelausdruck geht ja gegen 1.

Sowas mache ich sehr gern anschaulich: Die 21 spielt irgendwann keine Rolle mehr, wenn das x immer größer wird.

$$\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2-21} = \lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2}$$

Bis demnächst
Matthias

[ottogal]

Sowas mache ich sehr gern anschaulich: Die 21 spielt irgendwann keine Rolle mehr, wenn das x immer größer wird.

Was aber die von Gunnar eingeforderte Strenge ebenso vermissen lässt wie Encoder's Berufung auf eine Zeichnung...

Schon klar: In der Praxis argumentiert man regelmäßig so.

[ottogal]

Hallo Matthias,

$$\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2-21} = x$$

Das geht so nicht - auf der linken Seite ist $$x$$ eine "gebundene Variable", der Wert des Limes (so er denn existiert) kann nur eine reelle Zahl oder $$\infty$$ sein.

Korrekt schreiben könnte man allenfalls

$$\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2-21} = \lim_{x \to \infty}x$$

was ja aber nur heißt $$\infty = \infty$$.

Dass sich die Graphen der Funktionsterme $$\sqrt{x^2-21}$$ und $$x$$ für groß werdendes $$x$$ beliebig annähern, geht daraus jedoch nicht hervor. Hierzu ist die Untersuchung der Differenz

$$x - \sqrt{x^2-21}$$

nötig, und die von Gunnar gegebene Umformung

$$\sqrt{x^2-21} = x \sqrt{1-\frac{21}{x^2}}$$

hilfreich.

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

und die von Gunnar gegebene Umformung

$$\sqrt{x^2-21} = x \sqrt{1-\frac{21}{x^2}}$$

hilfreich.

Die aber auch nur eingeschränkt gilt, denn allgemein ist √x² ja nicht x.

LLAP 🖖

[ottogal]

Hier ja schon, weil $$x \ge 7$$ sein muss.

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Bei x → ∞ auch.

LLAP 🖖

[ottogal]

Fortsetzung:

Für $$x \ge 7$$ ist

$$x - \sqrt{x^2-21} = x - x \sqrt{1-\frac{21}{x^2}} = x \cdot \left( 1- \sqrt{1-\frac{21}{x^2}} \right)$$

Um zu zeigen, dass dies für $$x \to \infty$$ gegen 0 geht, genügt es nicht, dass dies der 2. Faktor tut. Denn der erste wächst gegen $$\infty$$, und es ist nicht von vornherein klar, welcher Faktor "sich durchsetzt".

Das wäre also die Aufgabe Mathematik zum Donnerstag:

Beweise, dass gilt:

$$\lim_{x \to \infty}x \cdot \left( 1- \sqrt{1-\frac{21}{x^2}} \right) = 0$$

[Rolf b]

Brrr - das bringt mich REGELmäßig ins HOSPITAL. Aber da geht's.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf b

Brrr - das bringt mich REGELmäßig ins HOSPITAL. Aber da geht's.

Pass auf, dass die Kurpfuscher dir deinen Leib niz verstümmeln!

LLAP 🖖

[dedlfix]

Tach!

Brrr - das bringt mich REGELmäßig ins HOSPITAL. Aber da geht's.

Pass auf, dass die Kurpfuscher dir deinen Leib niz verstümmeln!

Dagegen kann man sich ja mit 52 Zähnen wehren.

dedlfix.

[Gunnar Bittersmann]

@@dedlfix

Brrr - das bringt mich REGELmäßig ins HOSPITAL. Aber da geht's.

Pass auf, dass die Kurpfuscher dir deinen Leib niz verstümmeln!

Dagegen kann man sich ja mit 52 Zähnen wehren.

Nu mal Butter bei die Kekse!

LLAP 🖖

[Rolf b]

Keine Sorge, sie haben mir eine sehr differenzierte Behandlung zukommen lassen, getrennt nach Ober- und Unterkörper.

Ich weiß nur nicht, warum an den ganzen Apparaten dort Aufkleber «Patronné de JB» waren.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Immer wieder nett, wie diese Mathematik-zum-…-Aufgaben einem das Schulwissen nicht völlig verkümmern lassen.

(Als ich noch Mathe-Nachhilfe gegeben hatte, musste ich schon hin und wieder mal was rauskramen. Aber Pennäler als Nachhilfeschöler waren doch eher die Ausnahme.)

Das Krankenhaus am Rande der Stadt hatte ich noch in Erinnerung, freilich nicht dessen Namen. 😉

LLAP 🖖