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Hallo in die Runde!
Meine Lösung:
F sei der Schnittpunkt von DE mit MC, G der Schnittpunkt von AB mit der Parallelen zu MC durch E.
Wir zeigen:
Erfüllt P die Bedingung BPA = 3 PEA , so ist PEA auch gleich der Fläche des Trapezes PDCE.
Sei also BPA = 3 PEA.
Diese Dreiecke haben die Höhe von der Ecke A aus gemeinsam, ihre Grundseiten verhalten sich daher wie ihre Flächen.
=> BP = 3 PE
=> BM = 3 MG (Strahlensatz)
=> AM = 3 MG
=> AM = 3 FE
Die Dreiecke PCA und PCE haben die Grundlinie PC gemeinsam; ihre Flächen verhalten sich also wie ihre Höhen.
=> PCA : PCE = AM : FE = 3 : 1
=> PCA = 3 PCE
=> PEA = 2 PCE
Das war zu zeigen.
Zu MudGuards Einwurf:
Für 1:1:1:3 gibt es keine Lösung.
Denn: Es müsste dann BPA = PEA sein. Diese Dreiecke haben die Höhe von A aus gemeinsam, folglich müssten ihre Grundlinien gleich sein: BP = PE.
Das geht aber nicht, weil nach dem Strahlensatz dann auch BA = ED sein müsste, was offensichtlich unmöglich ist.
Beste Grüße ottogal
Matthias Apsel
Rolf b
Tabellenkalk
MudGuard
Gunnar Bittersmann