Matthias Apsel: Mathematik zu Pfingsten

Hallo alle,

in Anlehnung an das neue(?) Google-Playstore-Logo:

gleichseitiges Dreieck

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck. Durch einen Punkt auf der Mittelsenkrechten kann man das Dreieck gemäß Skizze zerlegen in

  • ein gleichschenkliges Dreieck
  • zwei kongruente Dreiecke
  • ein Drachenviereck

Man prüfe, ob es einen Punkt auf der Mittelsenkrechten gibt, sodass sich die genannten Flächen wie 3:1:1:1 verhalten.

Bis demnächst
Matthias

-- Rosen sind rot.

Akzeptierte Antworten zum Thema:

  1. Ja, geht :)

    Rolf

    1. Hallo,

      Ja, geht :)

      Mist, hab das Gegenteil raus. :(

      Gruß
      Kalk

      1. Ich kann mich ja auch geirrt haben 😀 Wenn Du das Gegenteil raushast, dann kannst Du bestimmt beweisen dass es keine Lösung gibt.

        Wir werden am Dienstag sehen, wer sich in den Fuß geschossen hat...

        Rolf

  2. Hi,

    Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck. Durch einen Punkt auf der Mittelsenkrechten kann man das Dreieck gemäß Skizze zerlegen in

    • ein gleichschenkliges Dreieck
    • zwei kongruente Dreiecke
    • ein Drachenviereck

    Man prüfe, ob es einen Punkt auf der Mittelsenkrechten gibt, sodass sich die genannten Flächen wie 3:1:1:1 verhalten.

    rein theoretisch könnte es ja sogar 2 solche Punkte geben:

    1. einen, bei dem das gleichschenklige Dreieck die dreifache Fläche der anderen hat
    2. einen, bei dem die Drachenfläche dreimal so groß ist wie die anderen Flächen.

    Die 3. Möglichkeit, nämlich die kongruenten Dreiecke sind dreimal so groß wie die anderen Flächen, geht ja nicht, dann müßte es 3:3:1:1 sein …

    cu,
    Andreas a/k/a MudGuard

    1. Hallo MudGuard,

      Interessanter Einwurf.

      Bis demnächst
      Matthias

      -- Rosen sind rot.
  3. Hallo alle,

    vielen Dank für die verschiedenen Lösungen, wer mag, kann das gern hier ergänzen.

    Ich möchte eine Lösung vorstellen, die wenig kreativ ist und nur mit Mitteln der Analysis zum Ziel führt.

    Zur Wiederholung:
    Für ein gleichseitiges Dreieck gilt

    h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a
    A \, = \, \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2

    Der Einfachheit halber betrachten wir ein Dreieck mit der Seitenlänge 1, dessen Eckpunkte folgende Koordinaten haben \mathrm{A}\left(0\vert0\right), \mathrm{B}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\vert\frac{1}{2}\right), \mathrm{C}\left(0\vert1\right).

    Dreieck im Koordinatensystem

    Soll nun das gleichschenklige Dreieck drei Sechstel des Flächeninhaltes des gleichseitigen Dreiecks erhalten, so muss es die halbe Höhe besitzen. Der Punkt M halbiert also die Mittelsenkrechte. Er hat folglich die Koordinaten

    \mathrm{M}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\vert\frac{1}{2}\right)

    Wir wollen nun den Flächeninhalt des Drachenvierecks ausrechnen, dazu benötigen wir die Koordinaten von E.

    Um den Punkt E zu ermitteln, brauchen wir die Gleichungen der Geraden durch die Punkte A und M sowie C und D. Diese lauten y=\frac{2}{3}\sqrt{3}\cdot x und y=-\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot x+1.

    Die Lösung des Gleichungssystems liefert \mathrm{E}\left(\frac{1}{3}\sqrt{3}\vert\frac{2}{3}\right)

    Damit hat das Drachenviereck die Diagonalen e=\frac{1}{4}\sqrt{3} sowie \frac{f}{2}=\frac{1}{6}. Der Flächeninhalt des Drachen ist folglich A=\frac{1}{2}ef= \frac{1}{24}\sqrt{3}, was einem Sechstel der Gesamtfläche des Dreiecks entspricht. Folglich haben die entsprechenden Flächen das angegebene Verhältnis.

    MudGuards Einwurf:

    Die Höhe des gleichligen Dreiecks muss ein Sechstel der Höhe des Dreiecks betragen. M hat somit die Koordinten \mathrm{M}\left(\frac{\sqrt{3}}{12}\vert\frac{1}{2}\right), der Drachen eine Fläche von \frac{25}{168}\sqrt{3}, was einem Anteil von \frac{25}{42}\ne\frac{1}{2} entspricht.

    Bis demnächst
    Matthias

    -- Rosen sind rot.
    1. Warum soll es drei Sechstel Fläche haben? Wenn das Verhältnis in der Frage eingehalten werden soll muss es ein Drittel, also zwei Sechstel der Fläche haben.

      Ich habe folgende Lösung.

      Die drei Teilfiguren sollen jeweils die selbe Fläche haben. Nämlich 1/3 des gleichseitigen Dreiecks.
      Das linke Dreieck dessen rechte Spitze bis zum besagten Punkt geht, soll also 1/3 der Fläche des gleichseitigen Dreiecks haben. Das hat es wenn dessen Höhe auf 1/3 gesetzt wird. Der gesuchte Punkt liegt also auf 1/3 der Strecke zwischen der linken senkrechten Dreiecksseite und der Spitze rechts.

      Dieser Punkt im gleichseitigen Dreieck ist Mittelpunkt von Inkreis und Umkreis und durch ihn führen die Winkelhalbierenden, die gleichzeitig die Seitenhalbierenden sind. Daraus folgt dann ein rechter Winkel in den als kongruent bezeichneten Dreiecken und daraus folgt dass das Dreieck (siehe Skizze oben) C-M-E und das Dreieck C-M-(0; 0,5) gleich groß sind.

      Zwei der drei gesuchten Flächen sind also gleich groß. Eine davon haben wir als 1/3 der Gesamtfläche berechnet, die andere ist daher genauso groß. Das Drachenviereck muss demnach das restliche Drittel an Fläche haben.

      Kurz gesagt bewirkt dieser Punkt dass alle Teildreiecke gleich groß sind.

      Korrekturen bitte gerne!

      1. Hallo encoder,

        Warum soll es drei Sechstel Fläche haben? Wenn das Verhältnis in der Frage eingehalten werden soll muss es ein Drittel, also zwei Sechstel der Fläche haben.

        Nein. Das geforderte Verhältnis war 3:1:1:1. Drei von sechs Teilen für das Dreieck AMC, je ein Teil für die Dreiecke AFM und MEC und das Drachenviereck MFBE.

        Dreieck im Koordinatensystem

        Bis demnächst
        Matthias

        -- Rosen sind rot.
        1. Nein. Das geforderte Verhältnis war 3:1:1:1. Drei von sechs Teilen für das Dreieck AMC, je ein Teil für die Dreiecke AFM und MEC und das Drachenviereck MFBE.

          Achso ich dachte das galt für gesamtes Dreieck : linkes : Summe der mittleren : Drache

          1. Hallo encoder,

            Nein. Das geforderte Verhältnis war 3:1:1:1. Drei von sechs Teilen für das Dreieck AMC, je ein Teil für die Dreiecke AFM und MEC und das Drachenviereck MFBE.

            Achso ich dachte das galt für gesamtes Dreieck : linkes : Summe der mittleren : Drache

            Ja, dafür ist deine Lösung ja auch richtig 😂 (hoffe ich zumindest)

            Bis demnächst
            Matthias

            -- Rosen sind rot.
  4. Alternativ-Text

    Ich mach's mal ohne Formeln. Ich möchte, dass sich ABM, BPM, PCP´M und MP´A wie 3:1:1:1 verhalten, oder 6:2:2:2.

    Als ersten Schritt konstruiere ich P so, dass das rote Dreieck und der Drache gleich groß sind, oder alternativ: sich rotes Dreieck und halber Drache (kräftig-grünes Dreieck) 2:1 verhalten. Wähle ich P so, dass er BC im Verhältnis 2:1 teilt, habe ich zwei Dreiecke mit gemeinsamer Höhe (MQ) und Grundseiten im Verhältnis 2:1, was das gewünschte Flächenverhältnis herstellt. Aus Symmetriegründen habe ich damit ein X:2:2:2 bereits erreicht.

    Da sich mit den gleichen Argumenten ergibt, dass BPA und PCA ein Flächenverhältnis 2:1 haben, bzw. 8:4, und das rote Dreieck 2 Flächeneinheiten abdeckt, bleiben für das cyanfarbene Dreieck 6 Teile übrig. Das gewünschte Verhältnis ist also herstellbar.

    Dass ABM die Hälfte der Fläche von ABC hat, ist wegen 3:1:1:1 offenkundig und das ist der Fall, wenn M in der Mitte der Mittelsenkrechten liegt (gleiche Grundseite, halbe Höhe).

    Rolf

    Folgende Nachrichten verweisen auf diesen Beitrag:

    1. Hallo,

      Ich mach's mal ohne Formeln.

      Ich hatte im Prinzip ähnliche Ideen, hatte aber mit dem Dreieck ABM begonnen, die mich einerseits zur Halbierung der Mittelsenkrechten und dann zur 2:1-Teilung der Grundlinien führten. Diese Teilung habe ich irrigerweise mit einer Drittelung des Winkels gleichgesetzt und daher als Lösungs-Möglichkeit verworfen, da ich dachte, dass eine Winkeldrittelung generell unmöglich sei. Inzwischen weiß ich aber, dass die Gleichsetzung nicht richtig ist und eine Winkeldrittelung bei bestimmten Winkeln doch möglich ist.

      Daher möchte ich mein Posting von gestern zurückziehen.

      Gruß
      Kalk

  5. Hallo in die Runde!

    Meine Lösung:


    (GeoGebra-Bild)

    F sei der Schnittpunkt von DE mit MC, G der Schnittpunkt von AB mit der Parallelen zu MC durch E.

    Wir zeigen:

    Erfüllt P die Bedingung BPA = 3 PEA , so ist PEA auch gleich der Fläche des Trapezes PDCE.

    Sei also BPA = 3 PEA.

    Diese Dreiecke haben die Höhe von der Ecke A aus gemeinsam, ihre Grundseiten verhalten sich daher wie ihre Flächen.

    => BP = 3 PE

    => BM = 3 MG (Strahlensatz)

    => AM = 3 MG

    => AM = 3 FE

    Die Dreiecke PCA und PCE haben die Grundlinie PC gemeinsam; ihre Flächen verhalten sich also wie ihre Höhen.

    => PCA : PCE = AM : FE = 3 : 1

    => PCA = 3 PCE

    => PEA = 2 PCE

    Das war zu zeigen.


    Zu MudGuards Einwurf:

    Für 1:1:1:3 gibt es keine Lösung.

    Denn: Es müsste dann BPA = PEA sein. Diese Dreiecke haben die Höhe von A aus gemeinsam, folglich müssten ihre Grundlinien gleich sein: BP = PE.

    Das geht aber nicht, weil nach dem Strahlensatz dann auch BA = ED sein müsste, was offensichtlich unmöglich ist.


    Beste Grüße ottogal

  6. @@Matthias Apsel

    So hab ich’s gemacht: Dreieck so in Koordinatensystem, dass die Eckpunkte A(−1, 0), B(1, 0) und C(0, √3) sind; der gesuchte Punkt ist P(0, a).

    Skizze

    Die Gerade AP hat die Gleichung y = (1 + x) a.
    Die Gerade BC hat die Gleichung y = (1 − x) √3.

    Ermittlung des Flächeninhalts des Drachenvierecks über die x-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Geraden:

    \begin{align} \left( 1 + x\right ) a &= \left( 1 - x \right) \sqrt 3 \\ x &= \frac{\sqrt 3 - a}{\sqrt 3 + a} \end{align}
    A_{\text{Drachen}} = \left( \sqrt 3 - a \right) x = \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a}

    Wir bestimmen nun a so, dass der Flächeninhalt des Drachenvierecks ein Drittel des Flächeninhalts des Dreiecks ABP (welcher a beträgt) ist:

    \begin{align} \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a} &= \frac{a}{3} \\ \tfrac{9}{2} - \tfrac{7}{2} \sqrt 3 \, a + a^2 &= 0 \\ a &= \tfrac{1}{2} \sqrt 3 \end{align}

    (Die andere Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da der Punkt außerhalb des Dreiecks ABC wäre.)

    Es ist also A_{ABC} = \sqrt 3 und A_{ABP} = \tfrac{1}{2} \sqrt 3 und A_{\text{Drachen}} = \tfrac{1}{6} \sqrt 3.

    Jetzt ist noch zu prüfen, ob die beiden seitlichen Dreiecke ebensogroß wie das Drachenviereck sind. Deren Flächeninhalt ergibt sich aus

    \tfrac{1}{2} \left( A_{ABC} - A_{ABP} - A_{\text{Drachen}} \right) = \tfrac{1}{2} \left( \sqrt 3 - \tfrac{1}{2} \sqrt 3 - \tfrac{1}{6} \sqrt 3 \right) = \tfrac{1}{6} \sqrt 3

    Ich hatte micht auch gefragt: Und wie geht’s nun geometrisch, ohne Rechnen? Rolf b lässt mich vor Scham in den Erdboden versinken.

    LLAP 🖖

    -- “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
  7. Noch eine "Sieht man doch!"-Lösung: Eine Parkettierung in 24 flächengleiche Dreiecke.

    GeoGebra-Bild

    (Die Flächengleichheit sichert meist "gleiche Grundseite bei gleicher Höhe". Und manche gleichlangen Teilstrecken folgen z.B. aus dem Satz, dass sich die Seitenhalbierenden in einem Dreieck gegenseitig im Verhältnis 2:1 teilen: Teilt man den längeren Abschnitt noch in der Mitte, hat man drei gleichlange Strecken.)