Mathematik zum Start ins Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
[![Alternativ-Text](/images/c768b6ad-97f0-493d-8716-742e3be3dc24.jpeg?size=medium)](/images/c768b6ad-97f0-493d-8716-742e3be3dc24.jpeg)
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Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
[![Alternativ-Text](/images/187c07c7-aad6-43ea-95b9-873f92117ba5.jpeg?size=medium)](/images/187c07c7-aad6-43ea-95b9-873f92117ba5.jpeg)
[![Alternativ-Text](/images/00e8c943-25f7-4275-b358-009c11988164.jpeg?size=medium)](/images/00e8c943-25f7-4275-b358-009c11988164.jpeg)
Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
[![Alternativ-Text](/images/ee94dd62-59ba-44d9-910e-c5701f88743a.jpeg?size=medium)](/images/ee94dd62-59ba-44d9-910e-c5701f88743a.jpeg)
[![Alternativ-Text](/images/949ce88c-f423-4262-aa6d-c7441cf16ca0.jpeg?size=medium)](/images/949ce88c-f423-4262-aa6d-c7441cf16ca0.jpeg)
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zum Start ins Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
[![Alternativ-Text](/images/c768b6ad-97f0-493d-8716-742e3be3dc24.jpeg?size=medium)](/images/c768b6ad-97f0-493d-8716-742e3be3dc24.jpeg)
[![Alternativ-Text](/images/a8c0f847-2aa9-4baa-b022-4dca99de4001.jpeg?size=medium)](/images/a8c0f847-2aa9-4baa-b022-4dca99de4001.jpeg)
Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
[![Alternativ-Text](/images/187c07c7-aad6-43ea-95b9-873f92117ba5.jpeg?size=medium)](/images/187c07c7-aad6-43ea-95b9-873f92117ba5.jpeg)
Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
[![Alternativ-Text](/images/ee94dd62-59ba-44d9-910e-c5701f88743a.jpeg?size=medium)](/images/ee94dd62-59ba-44d9-910e-c5701f88743a.jpeg)
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zum Start ins Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
[![Alternativ-Text](/images/c768b6ad-97f0-493d-8716-742e3be3dc24.jpeg?size=medium)](/images/c768b6ad-97f0-493d-8716-742e3be3dc24.jpeg)
Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
[![Alternativ-Text](/images/187c07c7-aad6-43ea-95b9-873f92117ba5.jpeg?size=medium)](/images/187c07c7-aad6-43ea-95b9-873f92117ba5.jpeg)
Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
[![Alternativ-Text](/images/ee94dd62-59ba-44d9-910e-c5701f88743a.jpeg?size=medium)](/images/ee94dd62-59ba-44d9-910e-c5701f88743a.jpeg)
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zum Start ins Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
[![Alternativ-Text](/images/c768b6ad-97f0-493d-8716-742e3be3dc24.jpeg?size=medium)](/images/c768b6ad-97f0-493d-8716-742e3be3dc24.jpeg)
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Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
[![Alternativ-Text](/images/187c07c7-aad6-43ea-95b9-873f92117ba5.jpeg?size=medium)](/images/187c07c7-aad6-43ea-95b9-873f92117ba5.jpeg)
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Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
[![Alternativ-Text](/images/ee94dd62-59ba-44d9-910e-c5701f88743a.jpeg?size=medium)](/images/ee94dd62-59ba-44d9-910e-c5701f88743a.jpeg)
[![Alternativ-Text](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg?size=medium)](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg){: style="transform: rotate(90deg)"}
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zum Start ins Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
[![Alternativ-Text](/images/12223975-8acb-4df6-83f4-929cbf405d15.jpeg?size=medium)](/images/12223975-8acb-4df6-83f4-929cbf405d15.jpeg){: style="transform: rotate(90deg)"}
Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
[![Alternativ-Text](/images/b70ffbd2-f389-4e51-a66b-6c94ec5b215a.jpeg?size=medium)](/images/b70ffbd2-f389-4e51-a66b-6c94ec5b215a.jpeg){: style="transform: rotate(90deg)"}
Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
[![Alternativ-Text](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg?size=medium)](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg){: style="transform: rotate(90deg)"}
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zum Start ins Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
[![Alternativ-Text](/images/12223975-8acb-4df6-83f4-929cbf405d15.jpeg?size=medium)](/images/12223975-8acb-4df6-83f4-929cbf405d15.jpeg){: style="transform: rotate(90)"}
Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
[![Alternativ-Text](/images/b70ffbd2-f389-4e51-a66b-6c94ec5b215a.jpeg?size=medium)](/images/b70ffbd2-f389-4e51-a66b-6c94ec5b215a.jpeg){: style="transform: rotate(90)"}
Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
[![Alternativ-Text](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg?size=medium)](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg){: style="transform: rotate(90)"}
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zum Start ins Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
[![Alternativ-Text](/images/12223975-8acb-4df6-83f4-929cbf405d15.jpeg?size=medium)](/images/12223975-8acb-4df6-83f4-929cbf405d15.jpeg)
Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
[![Alternativ-Text](/images/b70ffbd2-f389-4e51-a66b-6c94ec5b215a.jpeg?size=medium)](/images/b70ffbd2-f389-4e51-a66b-6c94ec5b215a.jpeg)
Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
[![Alternativ-Text](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg?size=medium)](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg)
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
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@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
[![Alternativ-Text](/images/12223975-8acb-4df6-83f4-929cbf405d15.jpeg?size=medium)](/images/12223975-8acb-4df6-83f4-929cbf405d15.jpeg)
Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
[![Alternativ-Text](/images/b70ffbd2-f389-4e51-a66b-6c94ec5b215a.jpeg?size=medium)](/images/b70ffbd2-f389-4e51-a66b-6c94ec5b215a.jpeg)
Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
[![Alternativ-Text](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg?size=medium)](/images/c10e755e-e446-4989-b032-a20bd4d5d21d.jpeg)
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zum Start ins Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann# Noch nicht lesen, ich muss erst noch die Bilder hochladen!
@@Matthias Apsel
> Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.
>
> Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …
# Zweimal Höhe *h*₁, dritte *h*₂
## Fall 1: *h*₂ > *h*₁
Wir zerlegen den Körper in das Prisma *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ der Höhe *h*₁ und die Pyramide *A*₁*B*₁*C*₁*C*₂ der Höhe *h*₂ − *h*₁:
Das Volumen ist:
$$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 2: *h*₂ < *h*₁
Hier wird eine Pyramide der Höhe *h*₁ − *h*₂ vom Prisma der Höhe *h*₁ weggeschnitten. (ohne Bild)
$$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$
## Fall 3: *h*₂ = *h*₁
Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.
Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# Drei unterschiedliche Höhen *h*₁, *h*₂, *h*₃
O.B.d.A. *h*₁ < *h*₂ < *h*₃
Wir zerlegen den Körper in den Körper *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ und die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃:
Für das Volumen des Körpers *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₂*C*₂ gilt (s.o., Fall 2):
$$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$
*A*₂ sei der Punkt über *A*₀ in der Höhe *h*₂. Wir betrachten kurzzeitig mal *B*₂*C*₂*C*₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide *A*₁*B*₂*C*₂*C*₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide *A*₂*B*₂*C*₂*C*₃.
Dieses beträgt (jetzt wieder *A*₂*B*₂*C*₂ als Grundfläche):
$$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$
Zusammenaddiert:
$$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$
Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.
# *n*-Eck als Grundfläche
Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige *n*-Ecke als Grundfläche gilt.
Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten *A*₀(0, 0, 0), *B*₀(1, 0, 0), *C*₀(1, 1, 0), *D*₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.
Oben sei der Körper durch die Ebene *z* = *x* + *y* + 1 begrenzt.
Durch Einsetzen der Werte für *x* und *y* in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
*A*₁(0, 0, 1), *B*₁(1, 0, 2), *C*₁(1, 1, 3), *D*₁(0, 2, 3).
Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen
$$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$
Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche *A*₀*B*₀*C*₀*A*₁*B*₁*C*₁ (Fläche: ½) und *C*₀*D*₀*A*₀*C*₁*D*₁*A*₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:
$$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$
Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für *n*-Ecke.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)