Matthias Apsel: Mathematik zum Start ins Wochenende

Hallo alle!

Vorweg: Ich habe keine Lösung.

Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.

Jemand rechnet wie folgt:

  • $$V_1 = A_G \cdot h \cdot \frac{2}{3}$$ // weil zwei Seitenkanten die Höhe h haben
  • $$V_2 = A_G \cdot 2h \cdot \frac{1}{3}$$ // weil eine Seitenkante die Höhe 2h hat
  • $$V = V_1 + V_2 $$ // und erhält das richtige Ergebnis

Unter welcher Bedingung darf die Formel so verwendet werden? Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …

Bis demnächst
Matthias

--
Rosen sind rot.

akzeptierte Antworten

    • $$V_1 = A_G \cdot h \cdot \frac{2}{3}$$ // weil zwei Seitenkanten die Höhe h haben
    • $$V_2 = A_G \cdot 2h \cdot \frac{1}{3}$$ // weil eine Seitenkante die Höhe 2h hat
    • $$V = V_1 + V_2 $$ // und erhält das richtige Ergebnis

    Die "weil"-Aussagen zu $$V_1$$ und $$V_2$$ verdienen wohl nicht das Prädikat Begründung.

    Dennoch funktioniert diese "Methode" auch, falls die dritte Höhe ein beliebiges Vielfaches $$k \cdot h$$ der Höhe h der kleineren Vertikalkanten ist: das so erhaltene Gesamt-Volumen $$V = \frac{k+2}{3} \cdot A_G \cdot h$$ ist korrekt.

    Bei drei verschiedenen Höhen wird der Körper so komplex, dass ein Funktionieren dieser Methode kaum zu erwarten ist. (Habe leider keine Zeit, dem weiter nachzugehen.)

    Schiefe (zueinander parallele) statt senkrechter Kanten dürften wegen des Prinzips von Cavalieri nichts an den erhaltenen Volunina ändern.

    1. @@ottogal

      Bei drei verschiedenen Höhen wird der Körper so komplex, dass ein Funktionieren dieser Methode kaum zu erwarten ist.

      Meine Intuition sagte anderes. Meine Nachforschungen auch …

      wegen des Prinzips von Cavalieri

      … wobei genau das eine Rolle dabei spielt.

      LLAP 🖖

      --
      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
    2. @@ottogal

      • $$V_1 = A_G \cdot h \cdot \frac{2}{3}$$ // weil zwei Seitenkanten die Höhe h haben
      • $$V_2 = A_G \cdot 2h \cdot \frac{1}{3}$$ // weil eine Seitenkante die Höhe 2h hat
      • $$V = V_1 + V_2 $$ // und erhält das richtige Ergebnis

      Die "weil"-Aussagen zu $$V_1$$ und $$V_2$$ verdienen wohl nicht das Prädikat Begründung.

      Doch, das tun sie. Beides zusammenaddiert ergibt sich das gewichtete Mittel.

      LLAP 🖖

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      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
  1. @@Matthias Apsel

    Unter welcher Bedingung darf die Formel so verwendet werden? Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …

    Ich wär dann durch – und das Wochenende ist noch nicht um. Und morgen Abend bin ich unterwegs. Und Montag auch.

    Ich wünsche mir das Feature, dass man Beiträge speichern kann, ohne sie schon zu veröffentlichen. @Christian Kruse (Kommst du mit zur Klassenfahrt?)

    LLAP 🖖

    --
    “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
    1. Hallo Gunnar Bittersmann,

      Ich wünsche mir das Feature, dass man Beiträge speichern kann, ohne sie schon zu veröffentlichen.

      Du bist nicht allein. ♬ ♩ ♪

      Bis demnächst
      Matthias

      --
      Rosen sind rot.
      1. Hallo Matthias,

        Ich wünsche mir das Feature, dass man Beiträge speichern kann, ohne sie schon zu veröffentlichen.

        Du bist nicht allein. ♬ ♩ ♪

        Das ist kompliziert. Ich hab schon drüber nachgedacht, wie man das am sinnvollsten bauen kann, aber die Gefahr, dass ein Beitrag trotzdem irgendwo zu sehen ist, obwohl er noch nicht zu sehen sein sollte, ist doch sehr hoch.

        LG,
        CK

        1. Hallo Christian Kruse,

          Das ist kompliziert.

          Hätte ich nicht gedacht.

          Ich hab schon drüber nachgedacht, wie man das am sinnvollsten bauen kann, aber die Gefahr, dass ein Beitrag trotzdem irgendwo zu sehen ist, obwohl er noch nicht zu sehen sein sollte, ist doch sehr hoch.

          Die Beiträge bekommen ein Flag "private-[User-ID]" und ggf. "private-until". Und diese Beiträge werden nur an den Besitzer ausgeliefert. Im Hintergrund läuft ein Job, der jede Stunde prüft ob in "private-until" ein Zeitpunkt der Vergangenheit steht und löscht das Flag "private-[User-ID]".

          So, jetzt weißt du, wie es geht. 😂

          Aber ich kann nur klug daher reden.

          Bis demnächst
          Matthias

          --
          Rosen sind rot.
          1. Hallo Matthias,

            So, jetzt weißt du, wie es geht. 😂

            Hehe 😉 soweit, so klar - und wie findest du all die verschiedenen Stellen, an denen geprüft werden muss, ob ein Thread sichtbar ist oder nicht? Da liegt das Problem. Ich muss mir eine Methode ausdenken, die in Zukunft solche Änderungen einfacher macht, ohne dass ich immer wieder überall suchen muss, wo die Threads und Nachrichten abgefragt werden.

            Mal von so edge cases wie der Thread wird vor der Veröffentlichung des Beitrags archiviert abgesehen.

            LG,
            CK

          2. Hi,

            Die Beiträge bekommen ein Flag "private-[User-ID]" und ggf. "private-until". Und diese Beiträge werden nur an den Besitzer ausgeliefert.

            und genau da liegt das Problem. Dazu müssen alle Stellen gefunden werden, an denen ein Beitrag an einen User ausgeliefert wird.

            Und das dürften einige sein - spontan fallen mir diese ein (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):

            Hauptseite des Forums, Übersicht, Threadseite in verschiedenen Varianten (Einzelposting/Nested/...), Forums-Suche, die Seite des Users (Neueste Nachrichten, Benutzer-Aktivität) …

            cu,
            Andreas a/k/a MudGuard

            1. Hallo MudGuard,

              und genau da liegt das Problem. Dazu müssen alle Stellen gefunden werden, an denen ein Beitrag an einen User ausgeliefert wird.

              Und das dürften einige sein - spontan fallen mir diese ein (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):

              kann das nicht der messagehelper erledigen?

              Bis demnächst
              Matthias

              --
              Rosen sind rot.
              1. Hallo Matthias,

                und genau da liegt das Problem. Dazu müssen alle Stellen gefunden werden, an denen ein Beitrag an einen User ausgeliefert wird.

                Und das dürften einige sein - spontan fallen mir diese ein (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):

                kann das nicht der messagehelper erledigen?

                Wie denn? Durch Magie? 😉

                Nein, die Stellen muss man alle suchen und refactoring betreiben, so dass sie alle mit dem gleichen Code Nachrichten filtern.

                LG,
                CK

  2. @@Matthias Apsel

    Gegeben ist ein Körper (schräg abgeschnittenes Prisma) wie folgt: Auf einer dreieckigen Grundfläche stehen die Seitenkanten senkrecht. Zwei der Seitenkanten haben die Höhe h, die dritte ist doppelt so hoch. Gesucht ist das Volumen.

    Lässt sich das auch verallgemeinern, zum Beispiel auf Seitenkanten, die nicht das Doppelte von einander sind, drei unterschiedlich lange Seitenkanten, Seitenkanten, die nicht senkrecht auf der Grundfläche stehen, n-Ecke …

    Zweimal Höhe h₁, dritte h

    Fall 1: h₂ > h

    Wir zerlegen den Körper in das Prisma ABCABC₁ der Höhe h₁ und die Pyramide ABCC₂ der Höhe h₂ − h₁:

    Alternativ-Text

    Das Volumen ist:

    $$V = A_G h_1 + \frac{1}{3} A_G \left( h_2 - h_1 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$

    Fall 2: h₂ < h

    Hier wird eine Pyramide der Höhe h₁ − h₂ vom Prisma der Höhe h₁ weggeschnitten. (ohne Bild)

    $$V = A_G h_1 - \frac{1}{3} A_G \left( h_1 - h_2 \right) = A_G \frac{ 2h_1 + h_2}{3}$$

    Fall 3: h₂ = h

    Wie man leicht sieht (wirklich!), gilt die Formel fürs Volumen auch dann.

    Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.

    Drei unterschiedliche Höhen h₁, h₂, h

    O.B.d.A. h₁ < h₂ < h

    Wir zerlegen den Körper in den Körper ABCABC₂ und die Pyramide ABCC₃:

    Alternativ-Text

    Für das Volumen des Körpers ABCABC₂ gilt (s.o., Fall 2):

    $$V_K = A_G \frac{h_1 + 2 h_2}{3}$$

    A₂ sei der Punkt über A₀ in der Höhe h₂. Wir betrachten kurzzeitig mal BCC₃ als Grundfläche der Pyramide (die ja ein Tetraeder ist). Jetzt kommt Cavalieri ins Spiel: Die Pyramide ABCC₃ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide ABCC₃.

    Dieses beträgt (jetzt wieder ABC₂ als Grundfläche):

    $$V_P = \frac{1}{3} A_G \left( h_3 - h_2 \right)$$

    Zusammenaddiert:

    $$V = V_K + V_P = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$

    Auch hier: Das Volumen des Körpers ist das Produkt aus der Grundfläche und dem Mittelwert der Höhen.

    n-Eck als Grundfläche

    Es liegt die Vermutung nahe, dass die Beziehung auch für beliebige n-Ecke als Grundfläche gilt.

    Wir wählen als Grundfläche das Viereck mit den Eckpunkten A₀(0, 0, 0), B₀(1, 0, 0), C₀(1, 1, 0), D₀(0, 2, 0). Deren Größe ist ³⁄₂.

    Oben sei der Körper durch die Ebene z = x + y + 1 begrenzt.

    Durch Einsetzen der Werte für x und y in die Ebenengleichung erhält man die Koordinaten der oberen Eckpunkte:
    A₁(0, 0, 1), B₁(1, 0, 2), C₁(1, 1, 3), D₁(0, 2, 3).

    Alternativ-Text

    Wenn unsere Vermutung stimmt, wäre das Volumen

    $$V = A_G \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 3}{4} = \frac{27}{8}$$

    Wir zerlegen den Körper in zwei mit dreieckiger Grundfläche ABCABC₁ (Fläche: ½) und CDACDA₁ (Fläche: 1), für die wir die Formel zur Berechnung des Volumens ja kennen:

    $$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3}{3} + 1 \cdot \frac{3 + 3 + 1}{3} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$$

    Das war dann wohl nichts mit unserer Vermutung. Die Beziehung gilt für dreieckige Grundflächen, nicht aber allgemein für n-Ecke.

    LLAP 🖖

    --
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    Folgende Beiträge verweisen auf diesen Beitrag:

    1. Kompliment - schön gelöst!

    2. Hallo Gunnar,

      für den Fall dreier verschiedener Höhen $$h_1 < h_2 < h_3$$ habe ich noch eine Lösung, die ohne das Cavalieri-Prinzip auskommt.

      Man teilt wieder den Körper in der Höhe $$h_1$$ in ein Prisma unterhalb mit dem Volumen $$V_1 = A_G \cdot h_1$$ und den oberhalb liegenden Restkörper.

      Alternativ-Text($$A_1C_2$$ ist keine Kante.)

      Dieser erweist sich als eine Pyramide mit trapezförmiger Grundfläche $$C_3C_1B_1B_2$$ und der Spitze $$A_1$$.

      Die Höhe der Pyramide ist gleich der Dreieckshöhe $$h_a$$ auf die Seite $$a = B_0C_0$$ im Grunddreieck $$A_0B_0C_0$$; für diese gilt $$h_a = \frac{2A_G}{a}$$.

      Das Trapez hat die Fläche $$A_T = \frac{(h_3 - h_1) + (h_2 - h_1)}{2} \cdot a = \frac{a}{2} \cdot (h_3 + h_2 - 2h_1)$$.

      Damit erhält man das Volumen der Pyramide zu $$V_2 = \frac{1}{3}A_T \cdot h_a = \frac{A_T \cdot 2A_G}{3a} = A_G \cdot \frac{h_3 + h_2 - 2h_1}{3}$$.

      Das Gesamtvolumen des Körpers ist daher $$V = V_1 + V_2 = A_G \cdot h_1 + A_G \cdot \frac{h_3 + h_2 - 2h_1}{3} = A_G \cdot \frac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$$.

      Viele Grüße

      ottogal

      1. @@ottogal

        … und den oberhalb liegenden Restkörper. … Dieser erweist sich als eine Pyramide mit trapezförmiger Grundfläche $$C_3C_1B_1B_2$$ und der Spitze $$A_1$$.

        Gut gesehen.

        IIRC hatte ich das sogar auch, den Ansatz aber nicht weiterverfolgt, weil ich nicht gedacht hätte, dass er so einfach zur Lösung führt.

        LLAP 🖖

        --
        “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory