Mathematik zum Wochenende - Lösung nach Tipp

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Ich wollte auch gerade ansetzen, die Lösung zu posten, da kam mir Rolf zuvor. Kann ich mir meine Freihandskizzen ja (größtenteils) sparen, das mit dem Netz hat er ja gut gemacht. Nur

Klappt man über andere Kanten auf, so dass der Weg über die Kanten HG oder HD im Netz liegt, so sieht man auch schnell, dass auf diesen Wegen $$\overline{RC}=\sqrt{76}$$ oder $$\overline{RC}=\sqrt{80}$$ ist.

25 + 49 sind bei mir nicht 76, sondern 74. Gar nicht so einfach, das mit den Grundrechenarten. Schwamm drüber. 😉

$$\overline{AR}=\overline{AR'}=\sqrt{26}$$

1. ✔

Die Fläche von ABP ergibt sich damit zu $$\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4=8$$.

2. ✔

Die Fläche von ABP ist minimal, wenn die Höhe minimal ist, wenn also P mit T zusammenfällt. Nach Pythagoras ist dann $$\overline{AP}=5$$.

3. ❌

Aber nein!

(Nicht, dass das nicht auch mein erster Gedanke gewesen wäre. Und der von einigen anderen hier im Bunde.)

Das wäre richtig, wenn P auf ST liegen soll. Soll er aber nicht. P soll auf dem Streckenzug RSTC liegen.

P darf also durchaus auf TC liegen.

Für alle Punkte P auf TC ist der Winkel PBA ein rechter; BP also Höhe des Dreiecks ABP. Gesucht ist nun der Punkt P, für den BP minimal ist; das ist der Fußpunkt des Lotes von B auf TC.

Wegen Pythagoras und Ähnlichkeit von Dreiecken ist

$$\begin{align} \overline{BP} &= \tfrac{12}{5}
\overline{AP} &= \sqrt{4^2 + \left( \tfrac{12}{5} \right)^2} = \tfrac{4}{5} \sqrt{34} \end{align}$$

LLAP 🖖