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Meine Lösung geht so:
Es kommt nur auf Verhältnisse an: Einmal auf die Konzentrationen der Säuren, und zum anderen auf das Verhältnis, mit dem zwei Flüssigkeitsmengen gemischt werden.
Die Konzentration der Säuren wird in Prozent angegeben; z.B. hat 15-prozentige Säure die Konzentration $$15%$$. Die Variablen $$p$$, $$q$$, $$r$$ stehen für den Zahlenwert vor dem $$%$$, also z.B. für $$15$$, nicht für $$15%$$ bzw. $$0,15$$.
Bezeichnungen:
Ich spreche etwas leger von p-prozentigem "Saft", womit ich eine Mischung von $$p%$$ Säure und $$(100-p)%$$ Wasser meine. (Mit Säure meine ich also stets unverdünnte Säure.)
Konzentration von Saft 1 sei $$p %$$;
Konzentration von Saft 2 sei $$q %$$.
Mischen von $$a$$ Teilen Saft 1 mit $$b$$ Teilen Saft 2 liefert einen Saft 3 mit Konzentration $$r %$$.
(O.B.d.A. ist $$0 \leq q \leq r \leq p$$.)
Saft 3 besteht also aus $$a+b$$ Teilen, und die relativen Anteile von Saft 1 bzw. Saft 2 sind
$$u = \frac{a}{a+b}$$ bzw. $$v = \frac{b}{a+b}$$.
Stets gilt: $$u+v=1$$ und $$\frac{u}{v} = \frac{a}{b}$$.
Vor dem eigentlichen Problem bietet sich an, eine einfachere Aufgabe zu lösen:
Aufgabe 1:
Wie viel Prozent Säure hat die Mischung aus $$a$$ Teilen Saft 1 und $$b$$ Teilen Saft 2 ?
Gesucht ist also $$r$$, gegeben sind $$p$$, $$q$$, $$a$$ und $$b$$ (oder $$p$$, $$q$$, $$u$$ und $$v$$).
Lösung von Aufgabe 1:
$$a$$ Teile Saft 1 enthalten $$ a \cdot \frac{p}{100} $$ Teile Säure.
$$b$$ Teile Saft 2 enthalten $$ b \cdot \frac{q}{100} $$ Teile Säure.
Die Mischung (Saft 3) enthält daher $$ a \cdot \frac{p}{100} + b \cdot \frac{q}{100} = \frac{ap+bq}{100}$$ Teile Säure.
Dieser Saft 3 hat aber insgesamt $$ a + b $$ Teile. Deshalb ist die Konzentration von Saft 3 (also der Anteil der reinen Säure an der Gesamtflüssigkeit)
$$ r% = \frac{r}{100} = \frac{ap+bq}{100 \cdot (a+b)} $$ oder nach Multiplikation mit 100:
$$ r = \frac{ap+bq}{a+b} $$
Die Gleichung $$ r = \frac{ap+bq}{a+b} $$ lässt sich umformen zu
$$ r = \frac{a}{a+b} \cdot p + \frac{b}{a+b} \cdot q $$.
Mit den oben definierten Anteilen $$u$$ und $$v$$ erhält man die einfache Gleichung
$$ r = u \cdot p + v \cdot q $$
Nun zum eigentlichen Problem, der
Aufgabe 2:
Das Schema, geschrieben mit den Variablen, liefert beim "Überkreuz-Subtrahieren" die Anteile $$a=r-q$$ für Saft 1 und $$b=p-r$$ für Saft 2.
Zu zeigen ist also: Mischt man $$a=r-q$$ Teile von Saft 1 mit $$b=p-r$$ Teilen von Saft 2, so erhält man einen Saft 3 der Konzentration $$r%$$.
Beweis:
Aus $$a=r-q$$ und $$b=p-r$$ folgt $$a+b=p-q$$ und daraus (für $$p \neq q$$ - andernfalls trivial):
$$u = \frac{a}{a+b} = \frac{r-q}{p-q} $$ und $$v = \frac{b}{a+b} = \frac{p-r}{p-q} $$
Damit rechnet man nach:
$$ u \cdot p + v \cdot q = $$
$$ = \frac{(r-q) \cdot p}{p-q} + \frac{(p-r) \cdot q}{p-q} = $$
$$ = \frac{rp-qp+pq-rq}{p-q} = $$
$$ = \frac{r \cdot (p-q)}{p-q} = $$
$$ = r $$.
Neben @Gunnar Bittersmann und @Matthias Apsel hat auch @encoder eine korrekte Lösung eingereicht.
Die verblüffende Kürze von Matthias' Lösung beruht freilich darauf, dass er seine zweite Gleichung
pX + qY = k
nicht begründet hat - das entspräche der Aufgabe 1 bei mir.
Noch eine Bemerkung: Chemische Fragen waren hier nicht angesprochen (dass es z.B. 100-prozentige Säuren kaum gibt, oder ob es um Volumen- oder Masse-Prozente geht). Und für den praktischen Zweck des Ätzens von Druckplatten sind die Näherungen allemal ausreichend.
Gunnar Bittersmann
Matthias Apsel