Mathematik aus Anlass "Artikel des Tages" - Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Der Artikel des Tages vom 14.10.2017 in der Wikipedia war „vollständige Induktion“. Deshalb habe ich eine Aufgabe gesucht, die nach Induktion riecht.

##Zunächst eine einfachere Variante:

Man zeige: Für alle natürlichen Zahlen n ist _n_³ - n durch 3 teilbar.

Induktionsanfang: 1³ - 1 = 0; 0 ist durch 3 teilbar.

Induktionsvoraussetzung: _n_³ - n durch 3 teilbar.

Induktionsschritt:
(n + 1)³ - (n + 1)
= n_³ + 3_n_² + 3_n + 1 - n - 1
= (_n_³ - n) + 3(_n_² + n)

die erste Klammer ist durch 3 teilbar nach Induktionsvoraussetzung, der zweite Summand enthält den Faktor 3.

##ursprüngliche Aufgabe

Man zeige: Für alle natürlichen Zahlen n ist _n_³ - n durch 6 teilbar.

Induktionsanfang: 1³ - 1 = 0; 0 ist durch 6 teilbar.

Induktionsvoraussetzung: _n_³ - n durch 6 teilbar.

Induktionsschritt:
(n + 1)³ - (n + 1)
= n_³ + 3_n_² + 3_n + 1 - n - 1
= (_n_³ - n) + 3(_n_² + n)
= (_n_³ - n) + 3 × n × (n + 1)

die erste Klammer ist durch 6 teilbar nach Induktionsvoraussetzung, der zweite Summand enthält den Faktor 3 und eine gerade Zahl, ist damit ebenfalls durch 6 teilbar.

ohne Induktion

Schaut man sich die letze Umformung an, so könnte man in Versuchung kommen, auch ohne Induktion zum Ziel zu kommen. Dies umso mehr, wenn einem die Nebelkerze Artikel des Tages nicht nicht den Blick erschwert.

Es gilt: _n_³ - n = (n - 1) × n × (n + 1). Das sind 3 aufeinander folgende natürliche Zahlen, von denen ist mindestens eine gerade und genau eine durch 3 teilbar. Somit ist dieses Produkt durch 6 teilbar.

Diese Lösung erhielt ich von @herrmann, @Gunnar Bittersmann, @encoder sowie @w.z.b.w. Dabei war @herrmann offenbar der einzige, der mit dem Artikel des Tages was anzufangen wusste.

Eine weitere richtige Lösung kam von @MudGuard, der mit Fallunterscheidungen gearbeitet hat.

Bis demnächst
Matthias