Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Ein Würfel wird durch die Ebene der Kantenmittelpunkte P, Q und R in zwei Teile geteilt. Gesucht ist das Verhältnis der Volumina des größeren zum kleineren Teil.

LLAP 🖖

[j4nk3y]

Hey,

ist das Verhältnis der Längen gleich? P/L = Q/L = R/L [mit L als Kantenlänge]. Und was ist mit den Extremfällen wenn die Verhältnisse 0 oder 1 sind? Sollen die auch Berücksichtigung werden?

Gruß
Jo

[Tabellenkalk]

Hallo,

ist das Verhältnis der Längen gleich?

Ich glaube mit „Würfel“ und „Kantenmittelpunkte“ ist alles genau beschrieben, oder übersehe ich was?

Gruß
Kalk

[j4nk3y]

Hey,

„Kantenmittelpunkte“

Hab ich doch eiskalt überlesen.

Gruß
Jo

[Rolf B]

Lösungsversuch eingeschickt 😂.

Die erweiterte Aufgabenstellung wäre nun, j4nk3ys Missverständnis zu integrieren. Sei die linke obere vordere Ecke der Punkt O, und die Strecken OP, OQ und OR haben jeweils die Längen p, q und r. Kantenlänge des Würfels ist a. Wie ist nun das Volumenverhältnis?

Rolf

[MudGuard]

Hi,

Die erweiterte Aufgabenstellung wäre nun, j4nk3ys Missverständnis zu integrieren. Sei die linke obere vordere Ecke der Punkt O, und die Strecken OP, OQ und OR haben jeweils die Längen p, q und r. Kantenlänge des Würfels ist a. Wie ist nun das Volumenverhältnis?

ich hab mal eine andere Variante gerechnet - die Punkte bleiben auf der Kantenmitte, aber das ganze ist kein Würfel, sondern ein Quader.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Rolf B]

Hallo MudGuard,

klar, warum nicht. Das Ergebnis sollte mit dem vom Würfel übereinstimmen. Ist ja "nur" ein Sonderfall.

Falls Dir langweilig ist: Hast Du auch eine Lösung für Spate?

Der nächste Schritt wären dann n-dimensionale Hyperquader 😂. Geht bestimmt alles nach dem gleichen Prinzip, schließlich gibt's eine allgemeine Definition für das Volumen eines Hyperquaders. Du hast dann halt nur die Dimensionszahl n im Ergebnis drin.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Ich wollte die Aufgabe erst gar nicht hier stellen; ich hätte nicht gedacht, dass sie so problematisch ist. Auch der Publikumsjoker hilft hier nicht weiter.

Die erweiterte Aufgabenstellung wäre nun, j4nk3ys Missverständnis zu integrieren. Sei die linke obere vordere Ecke der Punkt O, und die Strecken OP, OQ und OR haben jeweils die Längen p, q und r.

Make it so.

Kantenlänge des Würfels ist a.

Nö. O.B.d.A. ist die Kantenlänge des Würfels 1. Es macht keinen Sinn, eine Variable einzuführen, die am Ende sowieso wieder rausfliegt.

Der abgeschnittene Teil ist eine Pyramide mit der Grundfläche OPQ = ½pq und der Höhe OR = r, also dem Volumen ⅓ · ½pq · r = ⅙pqr.

Für p = q = r = ½ ergibt sich ⅙ · (½)³ = ⅟₄₈.

Eine Tücke war noch, die Aufgabenstellung genau zu lesen. Gefragt war nicht der Anteil des kleinen Teils am Ganzen, sondern das Verhältnis des großen Teils zum kleinen: 47.

LLAP 🖖

[hmm]

jede kante a eines würfels ist gleich groß, d.h. das volumen des großen würfels ist a * a * a=höhe * breite * länge

da der kleine würfel durch die mittelpunkte der seiten gebildet wird, ergibt sich ein volumen von: a/2 * a/2 * a/2 = (a/2)^3

jetzt willst du aber gerade abschneiden und keinen würfel rausschneiden, darum halbieren wir das und addieren die eine hälte auf den großen würfel

wir haben also folgendes volumen abgeschnitten:

a^3 + (a/2)^3/2 = volumen des großen dingens = v_groß

(a/2)^3/2 = volumen des abgeschnittenen dingens = v_klein

das verhältnis errechnet sich durch 3-satz bzw. v_klein/v_groß sofern v_groß ungleich 0

[Tabellenkalk]

Hallo,

jetzt willst du aber gerade abschneiden und keinen würfel rausschneiden, darum halbieren wir das und addieren die eine hälte auf den großen würfel

ich glaube, du hast einen Denkfehler in deinem Gedankengang.

Gruß
Kalk

[hmm]

ich nix gut sprechen deutsch, weil aufgewachsen in berlin. darum meine sätze nicht wort für wort nehmen bitte!

a * a * a= volumen von würfel

das volumen eines würfel das nur halbsolange kanten hat ist also

a/2 * a/2 * a/2 = volumen kleiner würfel

und die hälfte des volumens wäre dann

( ( a / 2 ) ^3 ) / 2

das ist genau das volumen, dass sich ergibt wenn man den würfel an dieser beschissenen hyperebene durchsäbelt

[Tabellenkalk]

Hallo,

das ist genau das volumen, dass sich ergibt wenn man den würfel an dieser beschissenen hyperebene durchsäbelt

und dass ich das bezweifel, wollte ich mit meiner Aussage, dass du einen Denkfehler begehst, ausdrücken.

Gruß
Kalk

[hmm]

a^3 - ((a/2)^3) / 2 zu ((a/2)^3)/2 hab das vorzeichen vertauscht... weil man in meiner stadt weniger fuer haelt also plus fuer minus...

[Gunnar Bittersmann]

@@hmm

ich nix gut sprechen deutsch, weil aufgewachsen in berlin.

Neukölln, oder watt?

LLAP 🖖

[hmm]

Lichtenrade, was defacto zu berlin gehoert auch wenn jeder es fuer ein doorf haelt!

[Rolf B]

Hallo hmm,

ich schließ mich dem Kalk mal an: Wenn Du den "kleinen Würfel" so wie von Gunnar gewünscht durchsäbelst, halbierst Du ihn NICHT.

Betrachte diese beiden Bilder. Die links gezeigte Teilung halbiert den Würfel. Was Gunnar haben will, ist aber die rechts gezeigte Teilung. Das ist weniger als die Hälfte, was da noch rausguckt. Wieviel ist es?

Was bin ich froh, dass ich anfange, Geogebra zu kapieren. Das Tool ist unglaublich.

Rolf

[hmm]

Ich habe nachgedacht…

Wenn ich mir ein butterquadrat nehme und schneide, dann ist das abgeschnittene die haelfte eines d3quadrates... mit den seiten a, a, a/2

Also

(a^2 * a /2 )/ 2 = a^3 / 4

Also ist das verhaeltnis

a^3 / 4 zu a^3

1 : 4

[Tabellenkalk]

Hallo,

butterquadrat [...] d3quadrates... mit den seiten a, a, a/2

ähm, jetzt wirds wirr…

Gruß
Kalk

[hmm]

Verschrieben, ich meinte den die seitenlaengen des kleinenquadrats.

Das verhaeltnis ist 1:8

[Tabellenkalk]

Hallo,

Das verhaeltnis ist 1:8

Ich geb dir eine andere Aufgabe: du hast zwei gleich große Würfel, den einen halbierst du jeweils einmal in x-, y- und z-Richtung. Wieviele Würfel hast du dann und wie ist das Volumenverhältnis von einem kleinen und dem übrigen Großen?

Gruß
Kalk

[at]

Hallo Gunnar,

der Würfel lässt sich in acht gleich große Würfel teilen, von denen sieben durch die Ebene nicht berührt werden und der achte halbiert wird. Das Verhältnis ist damit 7,5 zu 0,5 beziehungsweise 15 zu 1. Oder habe ich da etwas falsch verstanden?

MfG, at

[Tabellenkalk]

Hallo,

Oder habe ich da etwas falsch verstanden?

siehe meine Antwort an hmm.

Gruß
Kalk

[dedlfix]

Tach!

der Würfel lässt sich in acht gleich große Würfel teilen, von denen sieben durch die Ebene nicht berührt werden und der achte halbiert wird.

Um den kleinen Würfel zu halbieren müsste man von PQ aus senkrecht nach unten schneiden, bis man auf die Höhe von R kommt. Das Schrägschneiden von PQ zu R ist jedenfalls keine Halbierung.

dedlfix.

[MudGuard]

Hi,

Ein Würfel wird durch die Ebene der Kantenmittelpunkte P, Q und R in zwei Teile geteilt. Gesucht ist das Verhältnis der Volumina des größeren zum kleineren Teil.

Ich wäre für den kleinen Teil auf 1/24 des Volumens des ganzen Würfels, für den großen demnach auf 23/24, also ein Verhältnis des kleinen zum großen Teil von 1/23 gekommen, aber da hat der Gunnar gesagt, ich hätte mich verrechnet.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Matthias Apsel]

Hallo MudGuard,

Ich wäre für den kleinen Teil auf 1/24 des Volumens des ganzen Würfels, für den großen demnach auf 23/24, also ein Verhältnis des kleinen zum großen Teil von 1/23 gekommen, aber da hat der Gunnar gesagt, ich hätte mich verrechnet.

Wir wollen doch die Lösungen nicht gleich verraten, damit andere auch noch was zum Überlegen haben.

Bis demnächst
Matthias

[MudGuard]

Hi,

Ich wäre für den kleinen Teil auf 1/24 des Volumens des ganzen Würfels, für den großen demnach auf 23/24, also ein Verhältnis des kleinen zum großen Teil von 1/23 gekommen, aber da hat der Gunnar gesagt, ich hätte mich verrechnet.

Wir wollen doch die Lösungen nicht gleich verraten, damit andere auch noch was zum Überlegen haben.

Da meine Werte ja NICHT die Lösung darstellen (laut Gunnar), hab ich ja keine Lösung verraten, nur eine Nicht-Lösung. Und den Nicht-Lösungsweg hab ich ja absichtlich auch nicht genannt.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Kay nicht angemeldet]

Ich tippe mal auf 1 zu 23.

[encoder]

Ich glaube man würde sich über eine Herleitung freuen 😀

Deine stimmt übrigens nicht. Ich habe ausgerechnet was man da wegschneidet, eine rein theoretische Herleitung ist mir nicht eingefallen. Dafür geht das ausrechnen im Kopf.

[Matthias Apsel]

Hallo encoder,

Ich habe ausgerechnet was man da wegschneidet, eine rein theoretische Herleitung ist mir nicht eingefallen.

Was ist denn da deiner Meinung nach der Unterschied?

Bis demnächst
Matthias

[encoder]

Ich habe ausgerechnet was man da wegschneidet, eine rein theoretische Herleitung ist mir nicht eingefallen. Was ist denn da deiner Meinung nach der Unterschied?

Unter Herleitung verstehe ich eine Schlussfolgerung irgendeiner Art. Wenn man etwas aus Rahmenbedingungen ableiten kann, dass irgendwas doppelt so groß ist, oder Strahlensatz anwenden kann oder sonstiges. Das Gegenteil von sturem rechnen.

Ich dachte anfangs auch dass ein kleiner Würfel halbiert würde, das wäre dann eine schöne Herleitung gewesen. Nachdem das aber nicht so ist, hab ich drauf los gerechnet.

[Matthias Apsel]

Hallo encoder,

Unter Herleitung verstehe ich eine Schlussfolgerung irgendeiner Art. Wenn man etwas aus Rahmenbedingungen ableiten kann, dass irgendwas doppelt so groß ist, oder Strahlensatz anwenden kann oder sonstiges. Das Gegenteil von sturem rechnen.

Dann gibt es in diesem Fall keinen Unterschied. Du identifizierst den Körper, der abgeschnitten wird und wendest die bekannte Volumenformel darauf an.

Bis demnächst
Matthias

[Kay nicht angemeldet]

Ich habe nicht gerechnet, sondern bin von folgendem ausgegangen:

Ich kann den Würfel in 8 Würfel scheiden. 1 Würfel hat den kleinenren Voluminaanteil und den größeren Voluminaanteil der zu den 7 Würfeln hinzu kommt.

Der kleinere Voluminaanteil ist ein Tetraeder. Siehe umgebender Würfel.

Also entspricht das Volumen 1/3 zu 7 2/3 und dies entspricht 1 zu 23.

[Matthias Apsel]

Hallo Kay nicht angemeldet,

Der kleinere Voluminaanteil ist ein Tetraeder. Siehe umgebender Würfel.

aber nicht so ein Tetraeder.

Bis demnächst
Matthias