Mathematik zum verlängerten Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Der Brückentag macht das Wochenende länger, deshalb eine vielleicht etwas härtere Nuss zum Knacken? Vielleicht auch nicht.

Löse die Gleichung 1 + 4x + 9x² + 16x³ + … = 12

LLAP 🖖

[hmm]

[gelöscht, um noch keine Lösungswege zu verraten] - @Matthias Apsel

der rest verbleibe dem interessierten leser als übung!

ps: ich muss scheiß druckertinteflecken wegmachen und hab kp wie....

[Gunnar Bittersmann]

@@hmm

12 = 1 + 4x + 9x² + 16x³ + … = $$\sum_{i=1}^\infty (2^{2i} x^{2i-1}) + \sum_{i=0}^\infty 3^{2i}x^{2i}$$

Ich hab das LaTeX mal zur Anzeige gebracht (in $$ einschließen).

Nein, so soll die Reihe nicht gebildet werden. Die Koeffizienten sollen nicht Zweier- und Dreierpotenzen sein. Die nächten beiden Glieder sind 25x⁴ und 36x⁵.

1 + 4x + 9x² + 16x³ + 25x⁴ + 36x⁵ + … = 12

LLAP 🖖

[Camping_RIDER]

Aloha ;)

Ich hab das LaTeX mal zur Anzeige gebracht (in $$ einschließen)

Du auch? 😂 Ah, ich sehe ich hab $$\infty$$ vergessen. Pardon.

Grüße,

RIDER

[Camping_RIDER]

Aloha ;)

12 = 1 + 4x + 9x² + 16x³ + … = $$\sum_{i=1}^\infty (2^{2i} x^{2i-1}) + \sum_{i=0}^\infty 3^{2i}x^{2i}$$

Ich denke hier liegt ein Missverständnis vor - um das zu entscheiden haben wir aber zu wenig Input von Gunnar bekommen. Ich denke aber, er meinte:

$$ 12 = 1 + 4x + 9x² + 16x³ + … = 1^2x^0 + 2^2x^1 + 3^2x^2 + 4^2x^3 + … = \sum_{i=0}^\infty (i+1)^2x^i = \sum_{i=1}^\infty i^2x^{(i-1)} $$

Grüße,

RIDER

[Matthias Apsel]

Hallo hmm,

wär mein ansatz... und dann eine rechnenregel um die beiden summen zu jeweils einem term zusammen zu fassen... und dann das vereinfache gleichungssystem lösen.…

der rest verbleibe dem interessierten leser als übung!

Es ist nicht nett, hier schon gleich Lösungsansätze zu veröffentlichen. Lass den anderen auch was zum Grübeln. Sende deine Lösung an den Autor. Dafür gibt es einen Button unterhalb des Beitrages.

Bis demnächst
Matthias

[hmm]

Ok den hab ich uebersehen.

Ich hab nen loesungsansatz den man von den dingen die geloescht wurden "ableiten" kann. Kriegs aber nicht ausgetechnet.

[Tabellenkalk]

Hallo,

Vielleicht auch nicht.

Die Zielwertsuche im Calc ist dafür ein probates Mittel(maß)!

Gruß
Kalk

[Tabellenkalk]

Hallo,

Die Zielwertsuche im Calc ist dafür ein probates Mittel(maß)!

Im Folgenden beschreibe ich wie ich vorgegangen bin:

Nötige Erkenntnis: Auf den ersten Blick werden alle Summanden immer größer, es sei denn x < 1.

Erster Schritt also: Zelle A1 mit dem Wert 1 füllen und mit „meinX“ benennen.
Zweitens: Spalte B mit einer Reihe füllen z.B. Werte von 1 bis 10
Davon die Quadrate in Spalte C berechnen lassen
Drittens: Spalte D wird mit der Exponentialfunktion gefüllt: meinX hoch B1 bis B10
In Spalte E kann nun das Produkt von C und D eingefüllt werden und über diese Spalte die Summe berechnet werden.

Mit der Zielwertsuche gibt man nun für dieses Summenfeld den Zielwert 12 ein und als änderbares Feld wird A1 angegeben.

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Hallo,

Die Zielwertsuche im Calc ist dafür ein probates Mittel(maß)!

Im Folgenden beschreibe ich wie ich vorgegangen bin:

Nötige Erkenntnis: Auf den ersten Blick werden alle Summanden immer größer, es sei denn x < 1.

Für x = −2 würd ich jetzt meine Hand nicht gerade ins Feuer legen.

Du meinst: … es sei denn −1 < x < 1. Oder anders gesagt: |x| < 1.

Erster Schritt also: Zelle A1 mit dem Wert 1 füllen und mit „meinX“ benennen.
Zweitens: Spalte B mit einer Reihe füllen z.B. Werte von 1 bis 10
Davon die Quadrate in Spalte C berechnen lassen
Drittens: Spalte D wird mit der Exponentialfunktion gefüllt: meinX hoch B1 bis B10
In Spalte E kann nun das Produkt von C und D eingefüllt werden und über diese Spalte die Summe berechnet werden.

Mit der Zielwertsuche gibt man nun für dieses Summenfeld den Zielwert 12 ein und als änderbares Feld wird A1 angegeben.

Einem Computerprogramm zu sagen „Löse mal die Gleichung für mich“ ist nicht gerade das, was man unter „Löse die Gleichung“ verstehen sollte. 😉

Wie willst du sicher sein, dass 0,5 die Lösung ist und nicht eine Näherungslösung?

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Einem Computerprogramm zu sagen „Löse mal die Gleichung für mich“ ist nicht gerade das, was man unter „Löse die Gleichung“ verstehen sollte. 😉

Wenn man bereits so verkalkt ist, dass man das Lösen der Gleichung nicht mehr hinkriegt, ist doch aber auch schön, einen Weg gefunden zu haben, der zu einem Ergebnis führte.

Wie willst du sicher sein, dass 0,5 die Lösung ist und nicht eine Näherungslösung?

Nach Auffüllen der Nährlösung und etwas Nachdenken: die weiteren Summanden werden so dermaßen klein und unbedeutend, dass sie immer weniger ins Gewicht fallen, je weiter sie sich der Unendlichkeit nähern…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Der Brückentag macht das Wochenende länger, deshalb eine vielleicht etwas härtere Nuss zum Knacken?

Zu hart? Das verlängerte Wochenende ist vorbei. Soll ich lösen?

LLAP 🖖

[hmm]

Zu hart? Das verlängerte Wochenende ist vorbei. Soll ich lösen?

zu rechen intensive!

die linke seite der gleichung lässt sich als erste und zweite ableitung der geometrischen reihe schreiben. diese konvergiert gegen die dazugehörige ableitung des grenzwerts der geomretischen reihe. das setzt man gleich 12 und rechnet das aus

richtiges vorgehen?

[Gunnar Bittersmann]

@@hmm

Zu hart? Das verlängerte Wochenende ist vorbei. Soll ich lösen?

zu rechen intensive!

die linke seite der gleichung lässt sich als erste und zweite ableitung der geometrischen reihe schreiben. diese konvergiert gegen die dazugehörige ableitung des grenzwerts der geomretischen reihe. das setzt man gleich 12 und rechnet das aus

Hört sich nicht ganz schlecht an. Ich kann’s mir aber nicht so ganz vorstellen, wie du das meinst. Magst du das posten? Das verlängerte Wochenende ist ja vorbei. Vielleicht „Lösung“ in den Betreff setzen, falls jemand den Lösungsweg noch nicht lesen will.

richtiges vorgehen?

Wenn zu rechenintensiv, dann nein. 😉

LLAP 🖖

[hmm]

unten gepostet, kann sein das fehler drin sind, hier der link zur geo reihe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Wenn zu rechenintensiv, dann nein.

naja, viele wege führen nach rom, meine sind halt die längsten und kompliziertesten

[Tabellenkalk]

Hallo,

Soll ich lösen?

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Wie ich mit meinem versuchten Wortspiel "Mittel(maß)" andeuten wollte, komme ich auf 0,5.

Gruß
Kalk

[hmm]

$$\sum_{i=0}^\inf q^i = \frac{1}{1-q}, |q|<1$$

erste ableitung

$$\sum_{i=1}^\inf i q^{i-1} = \frac{1}{(1-q)^2}, |q|<1$$

zweite ableitung:

$$\sum_{i=1}^\inf i(i-1) q^{i-2} = \frac{1}{(1-q)^4}, |q|<1$$

einsetzen:

$$12 = \sum_{i=1}^\inf i^2 q^{i-1} = \frac{1}{(1-q)^4} + \sum_{i=1}^\inf q^{i-2}=...$$(reihenverschiebung machen und geo einsetzen)

sind definitiv rechenfehler etc drin

[hmm]

aso, ein anderer lösungsforschlag wäre: reihe bei wolframalpha eingeben die seite rechnet die nullstelle aus

[hmm]

indexe besser angucken, dann könnte sich folgendes ergeben:

$$12 = \frac{1}{(1-q)^4} + \frac{1}{(1-p)^2} = \frac{1 + (1-q)^2}{(1-q)^4}$$

keine lust das auszumultiplizieren und ich denke dass ich mehrere rechenfehler drin habe

[Gunnar Bittersmann]

@@hmm

erste ableitung

$$\sum_{i=1}^\inf i q^{i-1} = \frac{1}{(1-q)^2}, |q|<1$$

zweite ableitung:

$$\sum_{i=1}^\inf i(i-1) q^{i-2} = \frac{1}{(1-q)^4}, |q|<1$$

sind definitiv rechenfehler etc drin

Das kann ich bestätigen.

Auf der linken Seite geht der Index bei 2 los. Und BTW, ∞ ist in LaTeX \infty.

Rechts komme ich auf 2 / (1 − q)³.

LLAP 🖖

[hmm]

$$\frac{d}{dq} (1-q)^{-2}=-2 (1-q)^{-3}(-1)$$ kettenregel, ok stimmt

[hmm]

$$12=\sum_{i=1}^\infty i^2 q^{i-1} = \sum_{i=2}^\infty i(i-1)q^{i-2} = \frac{2}{(1-q)^3}$$

beim zweiten = hab ich einfach mal geraten, ich wette das ist falsch

$$(1-q)^3 = \frac{1}{6}$$

$$q=-\frac{1}{6^{\frac{1}{3}}} + 1$$

[Gunnar Bittersmann]

@@hmm

$$12=\sum_{i=1}^\infty i^2 q^{i-1} = \sum_{i=2}^\infty i(i-1)q^{i-2} = \frac{2}{(1-q)^3}$$

beim zweiten = hab ich einfach mal geraten, ich wette das ist falsch

Richtig gewettet, falsch geraten.

Wenn du eine Indexverschiebung machst, musst du das überall tun.

Wenn i − 2 zu i − 1 wird und i − 1 zu i, dann wird i zu …? Richtig, i + 1. Nix mit i² da hinterm Summenzeichen.

LLAP 🖖

[hmm]

hab ich schonmal erwähnt dass ich von mathe immer schlechte laune kriege

$$\frac{2}{(1-q)^3} = \sum_{i=2}^\infty i(i-1)q ^{i-2} = \sum_{i=1}^\infty (i+1)iq^{i-1}=\sum_{i=1}^\infty i^2 q^{i-1} + \sum_{i=1}^\infty iq^{i-1}=12 + \frac{1}{(1-q)^2}$$

d.h.

$$\frac{1}{(1+q)(1-q)}=\frac{1+q}{(1+q)^2(1-q)}=\frac{1+q}{(1-q)^3}=12$$

einverstanden? oder morks?

[Matthias Apsel]

Hallo hmm,

hab ich schonmal erwähnt dass ich von mathe immer schlechte laune kriege

Dann hast du eindeutig das falsche Studium gewählt.

Bis demnächst
Matthias

[hmm]

wenn meine ausfuhrungen wiedererwarten stimmen folgt

$$\frac{1}{12}=-q^2 - q +2$$

Dann hast du eindeutig das falsche Studium gewählt.

hmm.... ich hab mir vorgenommen jetzt nach der masterarbeit nie wieder auch nur ansatz weise irgendwas zu machen was mit mathe zutun hat, ich krieg alpträume von dem zeug. deswegen muss meine webseite ein erfolgwerden (fb2.0!)! ich zieh den mathe master nur durch, weil ich zufaul bin den studiengang zu wechseln.

$$0 = q^2 + q -2 + \frac{1}{12}$$

pq formel?

[Gunnar Bittersmann]

@@hmm

wenn meine ausfuhrungen wiedererwarten stimmen folgt

$$\frac{1}{12}=-q^2 - q +2$$

Deine Erwartung war nicht verkehrt, deine Folgerung aber.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@hmm

$$\frac{1}{(1+q)(1-q)}=\frac{1+q}{(1+q)^2(1-q)}=\frac{1+q}{(1-q)^3}=12$$

einverstanden? oder morks?

In der ersten Version deines Postings konnte ich nachvollziehen, wie du von

$$\frac{2}{(1-q)^3} =12 + \frac{1}{(1-q)^2}$$

auf

$$\frac{1+q}{(1-q)^3}=12$$

kommst.

Was das $$\frac{1}{(1+q)(1-q)}=\frac{1+q}{(1+q)^2(1-q)}$$ da soll, verstehe ich nicht.

Und ja, die Gleichung sieht gut aus.

LLAP 🖖

[hmm]

okay

$$\frac{1+q}{(1-q)^3}=12$$

daraus folgt

$$1+q = 12 (1-q)^3$$

d.h.

$$q = 12(1-q)^3 -1$$

und die gleichungs ist rein zufällig für $$q=\frac{1}{2}$$ erfüllt....

[Gunnar Bittersmann]

@@hmm

und die gleichungs ist rein zufällig für $$q=\frac{1}{2}$$ erfüllt....

Und für welche q noch?

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Und für welche q noch?

Für keine weiteren. Interpretiert man die beiden Seiten der Gleichung als Funktion, so ist die eine streng monoton steigend, die andere monoton fallend, ihre Graphen haben aufgrund ihrer Definitionsbereiche genau einen Schnittpunkt.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Und für welche q noch?

Für keine weiteren. Interpretiert man die beiden Seiten der Gleichung als Funktion, so ist die eine streng monoton steigend, die andere monoton fallend, sie haben aufgrund ihres Definitionsbereiches genau einen Schnittpunkt.

Hm, müsste ich mal drüber nachdenken. Ich hab’s mit Polynomdivision gemacht.

Meine Lösung. Ähm, na gut, nicht meine.

LLAP 🖖

[hmm]

Für keine weiteren. Interpretiert man die beiden Seiten der Gleichung als Funktion, so ist die eine streng monoton steigend, die andere monoton fallend, sie haben aufgrund ihres Definitionsbereiches genau einen Schnittpunkt.

muss man für die argumentation ein intervall angeben?

$$1+q =f(q)$$ -> $$f'(q)=1 >0$$ ja strengmonoton wachsend

$$ 12(1-q)^3 g(q)$$ -> $$g'(q)=36(1-q)^2$$

g'(q)<0 für alle q aus (a,b), für geeignete a,b

ps: hab ich schonmal gesagt was ich von mathe kriege? ^^

[Matthias Apsel]

Hallo hmm,

$$ g(q) = 12(1-q)^3$$ -> $$g'(q)=36(1-q)^2$$

g'(q)<0 für alle q aus (a,b), für geeignete a,b

abgesehen davon, dass deine Ableitung nicht stimmt (Kettenregel!): Ein Quadrat ist niemals negativ. Diese Funktion ist monoton fallend.

Dazu benötigt man auch keine Ableitungen: x³ ist monoton wachsend; -x³ gespiegelt an der x-Achse, die 12 streckt in y-Richtung, die beiden 1 verschieben lediglich den Graphen. (Das lernt man irgendwo zwischen 8. und 9. Klasse)

Bis demnächst
Matthias

[hmm]

Klingt schlüssig

Zwischen 8. Und 9. Stand ich in mathe auf 5

[hmm]

$$0 = 12(1-q)^3 -1 -q=(12(1-q)^2-1)(1-q)$$

$$q_1=1, q_2=\frac{1}{2},q_3=-\frac{1}{2}$$

es gibt nur 3 nnullstellen weil der höchste exponent 3 ist... ähm und durch halbe polydingens darstellung können wir diese ablesen...

ok klappt nicht in der probe ^^ also wieder verrechnet

[hmm]

ich bleibe bei 1/2 und schließe mich der argumentation von matthias an

[Matthias Apsel]

Hallo hmm,

also wieder verrechnet

Und zwar beim Ausklammern.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Wie ich mit meinem versuchten Wortspiel "Mittel(maß)" andeuten wollte, komme ich auf 0,5.

Das dachte ich mir schon. Magst du zeigen, wie du auf 0,5 kommst? Das verlängerte Wochenende ist ja vorbei. Vielleicht „Lösung“ in den Betreff setzen, falls jemand den Lösungsweg noch nicht lesen will.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Magst du zeigen, wie du auf 0,5 kommst?

na gut.

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Löse die Gleichung 1 + 4x + 9x² + 16x³ + … = 12

Ich muss gestehen: Ich weiß nicht, ob ich selbst drauf gekommen wäre. Die Lösung ist sicherlich einfacher zu verstehen als zu finden.

Partialsumme der geometrischen Folge:

$$\sum_{k=0}^n x^k = 1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n= \frac{1-x^n}{1-x}$$

Die unendliche Reihe konvergiert für |x| < 1, xⁿ → 0

$$\sum_{k=0}^\infty x^k = 1+x+x^2+x^3+\ldots = \frac{1}{1-x}$$

Multipliziert mit x:

$$\sum_{k=0}^\infty x^{k+1} = x+x^2+x^3+x^4+\ldots = \frac{x}{1-x}$$

Abgeleitet nach x:

$$\sum_{k=0}^\infty \left(k+1\right)x^k = 1+2x+3x^2+4x^3+\ldots = \frac{1\cdot\left(1-x\right)-x\cdot\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^2} = \frac{1}{\left(1-x\right)^2}$$

Multipliziert mit x:

$$\sum_{k=0}^\infty \left(k+1\right)x^{k+1} = x+2x^2+3x^3+4x^4+\ldots = \frac{x}{\left(1-x\right)^2}$$

Abgeleitet nach x:

$$\sum_{k=0}^\infty \left(k+1\right)^2x^k = 1+4x+9x^2+16x^3+\ldots = \frac{1\cdot\left(1-x\right)^2-x\cdot2\left(1-x\right)\cdot\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^4} = \frac{1-x+2x}{\left(1-x\right)^3} = \frac{1+x}{\left(1-x\right)^3}$$

Das ist die unendliche Reihe aus der Aufgabenstellung. Wir suchen also die Lösung der Gleichung

$$\begin{align} \frac{1+x}{\left(1-x\right)^3} &= 12
1+x &= 12\left(1-x\right)^3\end{align}$$

Bei kubischen Gleichungen ist man gut dran, wenn man eine Lösung durch Probieren findet. Ganzzahlige Lösungen fallen hier aus wegen |x| < 1. Halbe könnten aber gehen: links Halbe; rechts: 3. Potenz ergibt Achtel, gegen die 12 gekürzt ergibt Halbe. Also x = ½ eingesetzt:

$$1+\tfrac{1}{2} = 12\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{3}{2}$$

Treffer. Zur Ermittlung weiterer Lösungen bringen wir die Gleichung in die allgemeine Form

$$\begin{align}1+x &= 12\left(1-3x+3x^2-x^3\right)
0 &= 12x^3-36x^2+37x-11\end{align}$$

Polynomdivision:

$$\left(12x^3-36x^2+37x-11\right) : \left(x-\tfrac{1}{2}\right) = 12x^2-30x+22$$

Dieses quadratische Polynom hat keine reellen Nullstellen. Als Lösung der Aufgabe kommt also einzig x = ½ infrage.

Credits:

• Aufgabe: José Luis da Vila
• Lösung: Ibrahim Al-Olyan

LLAP 🖖

[encoder]

Die Lösung ist sicherlich einfacher zu verstehen als zu finden.

Allerdings! Ich musste passen.