Mathematik zum verlängerten Wochenende – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Löse die Gleichung 1 + 4x + 9x² + 16x³ + … = 12

Ich muss gestehen: Ich weiß nicht, ob ich selbst drauf gekommen wäre. Die Lösung ist sicherlich einfacher zu verstehen als zu finden.

Partialsumme der geometrischen Folge:

$$\sum_{k=0}^n x^k = 1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n= \frac{1-x^n}{1-x}$$

Die unendliche Reihe konvergiert für |x| < 1, xⁿ → 0

$$\sum_{k=0}^\infty x^k = 1+x+x^2+x^3+\ldots = \frac{1}{1-x}$$

Multipliziert mit x:

$$\sum_{k=0}^\infty x^{k+1} = x+x^2+x^3+x^4+\ldots = \frac{x}{1-x}$$

Abgeleitet nach x:

$$\sum_{k=0}^\infty \left(k+1\right)x^k = 1+2x+3x^2+4x^3+\ldots = \frac{1\cdot\left(1-x\right)-x\cdot\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^2} = \frac{1}{\left(1-x\right)^2}$$

Multipliziert mit x:

$$\sum_{k=0}^\infty \left(k+1\right)x^{k+1} = x+2x^2+3x^3+4x^4+\ldots = \frac{x}{\left(1-x\right)^2}$$

Abgeleitet nach x:

$$\sum_{k=0}^\infty \left(k+1\right)^2x^k = 1+4x+9x^2+16x^3+\ldots = \frac{1\cdot\left(1-x\right)^2-x\cdot2\left(1-x\right)\cdot\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^4} = \frac{1-x+2x}{\left(1-x\right)^3} = \frac{1+x}{\left(1-x\right)^3}$$

Das ist die unendliche Reihe aus der Aufgabenstellung. Wir suchen also die Lösung der Gleichung

$$\begin{align} \frac{1+x}{\left(1-x\right)^3} &= 12
1+x &= 12\left(1-x\right)^3\end{align}$$

Bei kubischen Gleichungen ist man gut dran, wenn man eine Lösung durch Probieren findet. Ganzzahlige Lösungen fallen hier aus wegen |x| < 1. Halbe könnten aber gehen: links Halbe; rechts: 3. Potenz ergibt Achtel, gegen die 12 gekürzt ergibt Halbe. Also x = ½ eingesetzt:

$$1+\tfrac{1}{2} = 12\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{3}{2}$$

Treffer. Zur Ermittlung weiterer Lösungen bringen wir die Gleichung in die allgemeine Form

$$\begin{align}1+x &= 12\left(1-3x+3x^2-x^3\right)
0 &= 12x^3-36x^2+37x-11\end{align}$$

Polynomdivision:

$$\left(12x^3-36x^2+37x-11\right) : \left(x-\tfrac{1}{2}\right) = 12x^2-30x+22$$

Dieses quadratische Polynom hat keine reellen Nullstellen. Als Lösung der Aufgabe kommt also einzig x = ½ infrage.

Credits:

• Aufgabe: José Luis da Vila
• Lösung: Ibrahim Al-Olyan

LLAP 🖖