Julia: Stochastik: σ-Algebra und Zähldichte

Hallo Forum,

ich studiere Informatik (noch ganz am Anfang) und habe Anlaufschwierigkeiten beim Fach Stochastik. Vor allem komme ich mit den ganzen Begriffen / Bezeichnungen durcheinander.

Ich habe eine Aufgabe:

Sei Ω höchstens abzählbar unendlich und sei p: Ω→[0,1] eine Zähldichte, d.h.∑ω∈Ω p(ω)=1. Sei G:={{ω}|ω∈Ω}⊂2^Ω (wobei 2^Ω die Potenzmenge von Ω ist).

1) Gebe die kleinste σ-Algebra A:=σ(G) mit G ⊆ A ⊆2^Ω an und beweise, dass es keine kleinere geben kann.

Meine erste Frage:

Was ist eigentlich dieses G? Ich habe die Definition von G so verstanden: G ist Menge aller Ergebnismengen, die im Ergebnisraum Ω vorkommen. Heißt das, dass in G diese Ergebnisse aus Ω einfach in Mengenklammern stehen (siehe Beispiel)?

Ich nehme an, die kleinste σ-Algebra wäre die Potenzmenge von Ω, A:=σ(G)=2^Ω.

Ist es richtig?

Beispiel Würfel:

  • Ω={1,2,3,4,5,6}
  • G={{1},{2},{3},{4},{5},{6}}
  • A:=σ(G)={{},Ω,{1},{2,3,4,5,6},{1,2},{3,4,5,6},...}

Macht es Sinn?

Wenn ja, wie kann ich beweisen (für den allgemeinteren Fall), dass diese σ-Algebra (also Potenzmenge) die kleinste ist?

2) Gebe ein Wahrscheinlichkeitsmaß P:A →[0,1] mit P({ω}) = p(ω) für alle ω∈Ω an und beweise, dass dieses Maß eindeutig bestimmt ist.

Also, wenn ich es richtig verstanden habe:
P({ω}) = p(ω) d.h. beispielsweise beim Würfeln: P({1})=p(1)=1/6.

Dann denke ich, dass Wahrscheinlichkeitsmaß P(A) = ∑ω∈Ω P({ω}) = ∑ω∈Ω p(ω) = 1. Ist es richtig?

Wie kann ich dann zeigen, dass dieses Maß eindeutig bestimmt ist?

Vielen Dank im Voraus!

Julia