Mathematik zum Wochenanfang – Fallunterscheidung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

A͡B sei der Kreisbogen AB, auf dem C nicht liegt. 2πr ist Länge des Vollkreises, ¼ × 2πr also ein Viertelkreis, ½ × 2πr ein Halbkreis.

Für die Lage von A, B, C, D, E gibt es 5 Fälle:

1. A͡B < ¼ × 2πr, d.h. ∠AMB < 1∟
   Der Streckenzug ABCDE bildet ein M.

2. A͡B = ¼ × 2πr, d.h. ∠AMB = 1∟
   D und E fallen zusammen; d = 0.

3. ¼ × 2πr < A͡B < ½ × 2πr, d.h. 1∟ < ∠AMB < 2∟
   Der Streckenzug ABCDE bildet ein S bzw. Ƨ.

4. A͡B = ½ × 2πr, d.h. ∠AMB = 2∟
   C und D sowie B und E fallen zusammen; c = 0.

5. ½ × 2πr < A͡B < ¾ × 2πr, d.h. 2∟ < ∠AMB < 3∟
   Der Streckenzug ABCDE bildet ein ɣ.

Die beiden Fälle, in denen eine der Sehnen zu einem Punkt entartet, sind schnell besprochen:

In Fall 2 ist ∠AMB = 1∟ und ∠AMC = 1∟, ∠BMC als Summe der beiden also ein gestreckter Winkel, d.h. BC ist Durchmesser. Aus b = 2r folgt b² + d² = 4r² wegen d = 0.

Aus ∠ABC = ∠BCD (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen folgt a = c. Pythagoras in △ABC: a² + a² = b², also a² + c² = 4r².

In Fall 4 ist AB Durchmesser. Aus a = 2r folgt a² + c² = 4r² wegen c = 0.

C ≡ D liegt auf dem Thaleskreis, △ABC ist gleichschenlig-rechtwinklig mit Kathetenlänge b = d. Pythagoras in △ABC: b² + d² = a² = 4r².

LLAP 🖖