Mathematik zum Wochenende

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Man zeige, dass für jedes positive $$k$$ gilt: $$k+\frac{4}{k^2}\ge3$$

Bis demnächst
Matthias

[encoder]

Gibts schon Neues?

[Matthias Apsel]

Hallo encoder,

Gibts schon Neues?

Boah, ich ärgere mich jetzt: Gerade eine lange Abhandlung über die Entstehungsgeschichte der Aufgabe fertig und bin zweimal versehentlich auf die Backspacetaste gekommen (offenbar nachdem die Textarea defokussiert war) — alles weg.

Ursprünglich war es eine einfache Aufgabe zur Kurvendiskussion: $$f(x)=x+\frac{4}{x^2}$$ Man findet P(2|3) als lokales Minimum, den Rest spar ich mir.

Eher zufällig bin ich dann auf die Linearfaktorzerlegung $$x^3-3x^2+4=(x-2)^2\cdot(x+1)$$ gestoßen, was als Hinweis für den Beweis der Ungleichung reichen soll.

Ich wollte aber von der Differentialrechnung ablenken, habe deshalb eine Variable verwendet, die man eher mit ganzen Zahlen assoziiert und hatte die Idee, die Gültigkeit der Ungleichung für natürliche Zahlen beweisen zu lassen. Das wäre aber peinlich geworden.

Eigentlich braucht man nur für Zahlen zwischen 1 und 3 ein wenig mehr Hirnschmalz zu investieren, denn für die anderen positiven Zahlen ist die Aussage trivial.

@Gunnar Bittersmann und @ottogal haben neben der Lösung durch Differentialrechnung auch andere Termumformungslösungen durchgeführt, die recht clever sind. @encoder und @Rolf B haben nur die Lösung über Differentialrechnung eingereicht.

Bis demnächst
Matthias