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Mathematik zum Wochenende
Matthias Apsel
Mathematik zum Wochenende
Matthias Apsel
JürgenB
Rolf B
Gunnar Bittersmann-
Hallo,
zur Probe:
https://www.j-berkemeier.de/FktPlot.html?xmin=-1;xmax=2;f1=x*x*x*x-4*x-1
Gruß
Jürgen-
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@@Rolf B
da kannst Du auch Onkel Wolfram fragen 😉
Oder Tante GeoGebra. Aber was soll man mit den Näherungslösungen? Danach war ja nicht gefragt.
LLAP 🖖
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„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann-
Hallo Gunnar,
Wolfram gibt auch exakte Lösungen aus. Nur den Weg dahin, den verrät er nur gegen Geld. Ich bin gespannt auf den Lösungsweg hier - ich habe nicht die geringste Idee.
Rolf
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sumpsi - posui - clusi-
@@Rolf B
Wolfram gibt auch exakte Lösungen aus.
Und als ich mich im dritten Anlauf nicht verrechnet habe, konnte ich auch die dortigen Terme in das umformen, was ich als Lösung auf meinem Zettel hatte.
Nur dass ich die Lösungen erraten habe; der Beweis, dass das wirklich die Lösungen sind, steht noch aus.
Ich bin gespannt auf den Lösungsweg hier - ich habe nicht die geringste Idee.
Einen Hinweis hatte ich schon dezent versteckt. 😉
LLAP 🖖
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„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann-
Hallo Gunnar,
Einen Hinweis hatte ich schon dezent versteckt.
Zu dezent für meine dezembermüden Augen.
Aber nach etwas Anstrengung habe ich nun immerhin einen Lösungsweg für $$x^4 + 4x = 1$$. Nur dass es nicht meine Anstrengung war, und ich wäre auch nie im Leben drauf gekommen, damit habe ich mich noch nie beschäftigen müssen oder wollen. Immerhin habe ich jetzt was neues gelernt.
Rolf
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sumpsi - posui - clusi-
@@Rolf B
Aber nach etwas Anstrengung habe ich nun immerhin einen Lösungsweg für $$x^4 + 4x = 1$$.
Die Aufgabe war doch aber x⁴ minus 4x = 1! 😉
Immerhin habe ich jetzt was neues gelernt.
Bin gespannt, was das ist.
LLAP 🖖
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„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann-
Hallo Gunnar,
bin gespannt…
Na die Formel mit der man bestimmte Gleichungen 4. Grades - wie diese - angehen kann.
Aber da ich keine Eigenleistung für diese Aufgabe bringen kann, kann ich hier auch nichts präsentieren. Bin gespannt wer morgen ein mathematisches Weihnachtspäckchen öffnet.
Rolf
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sumpsi - posui - clusi-
Hallo Rolf B,
Bin gespannt wer morgen ein mathematisches Weihnachtspäckchen öffnet.
Ich hab schon eins fertig.
Bis demnächst
Matthias--
Pantoffeltierchen haben keine Hobbys. -
@@Rolf B
Bin gespannt wer morgen ein mathematisches Weihnachtspäckchen öffnet.
Ich nicht. Keine Zeit. Ich muss arbeiten – wie jedes Jahr zu dieser Zeit. 🎅
LLAP 🖖
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„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
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@@Gunnar Bittersmann
Aber nach etwas Anstrengung habe ich nun immerhin einen Lösungsweg für $$x^4 + 4x = 1$$.
Die Aufgabe war doch aber x⁴ minus 4x = 1! 😉
Dir war aber aufgefallen, dass, wenn du die Lösungen für x⁴ + 4x = 1 hast, du durch Substitution y = −x auch die Lösungen für y⁴ − 4y = 1 hast?
LLAP 🖖
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„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann-
Hallo Gunnar,
nö. Für sowas bin ich gern mal zu blöd.
Rolf
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sumpsi - posui - clusi
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@@Rolf B
Einen Hinweis hatte ich schon dezent versteckt.
Zu dezent für meine dezembermüden Augen.
Naja, wer mich kennt, der weiß, dass man bei meinen Postings nicht jedes Wort auf die Goldwaage legen sollte. Aber manchmal eben doch. 😉
Wenn ich sage „Aber was soll man mit den Näherungslösungen?“, dann soll man auch was damit.
Zum Beispiel kann man sie auf gut Glück mal addieren: x₁ + x₂ ≈ 1.414214.
Oder multiplizieren: x₁x₂ ≈ −0.414214.
Da isse, die trapsende Nachtigall!
Nehmen wir also an, dass x₁ + x₂ = √2 und x₁x₂ = 1 − √2.
Nach Vieta sind x₁ und x₂ dann die Lösungen der quadratischen Gleichung x² − x √2 + 1 − √2 = 0. Welches genau die Gleichung ist, zu der man über die quadratische Ergänzung auch kommt – so man die denn findet.
Da die Lösungen erraten sind (obige Annahme muss ja nicht stimmen), muss man noch zeigen, dass das auch wirklich Lösungen von x⁴ = 4x + 1 sind. Also die Probe machen. Mal schnell x₁₂⁴ ausrechnen. Binomische Formel …
Dass man damit tatsächlich alle reellen Lösungen gefunden hat, geht über folgende Überlegung: y = x⁴ ist eine Parabel 4. Ordnung. Diese wird von der Geraden y = 4x + 1 in genau zwei Punkten geschnitten.
LLAP 🖖
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„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
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Hallo Matthias Apsel,
für dieses Problem gab es nur eine Lösung von @Gunnar Bittersmann, der sich zunächst der Näherungslösungen bediente und unter Verwendung des Satzes von Vieta die Nachtigall trapsen hörte.
Das Verfahren zur Lösung kennt man unter Umständen auch aus der Schule: Quadratische Ergänzung
$$\begin{align} x^4 - 4x - 1 &= 0
x^4 + 2x^2 + 1 \color{red}{ - 2x^2 - 1 }- 4x - 1 &= 0
x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 - 4x - 2 &= 0
\left( x^2 + 1 \right)^2 - 2 \left( x + 1 \right)^2 &=0
\left( x^2 + 1 \right)^2 &= 2 \left( x + 1 \right)^2
x^2 + 1 &= \pm\sqrt{2} \left( x + 1 \right)
\end{align}$$Diese beiden quadratischen Gleichungen lassen auf normalem Wege lösen.
Bis demnächst
Matthias--
Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.-
Hallo Matthias,
oh. Das ist ja einfacher als gedacht 😀
Was ich gefunden habe, steht bei math.stackexchange.com: Man setzt das Polynom 4. Grades einem Produkt aus Polynomen 2. Grades gleich. Der Kollege dort hat es für $$x^4+4x-1$$ gemacht, ich versuche mal das hier in die Minus-Version zu übertragen.
$$x^4-4x-1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$
Rechte Seite ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich ergibt:
$$a+c=0 \land b+d+ac=0 \land bc+ad=-4 \land bd=−1$$
Mit $$c = -a$$ ergibt das $$\displaystyle b+d=a^2 \land d-b=-\frac{4}{a} \land bd=-1$$
Aus Summe und Differenz der beiden ersten Gleichungen folgt $$\displaystyle d=\frac{a^2}{2}-\frac 2 a \land b=\frac{a^2} 2 +\frac 2 a$$
und wegen bd=-1 ergibt sich $$\displaystyle \frac{a^4} 4 - \frac 4 {a^2}=-1 \Longleftrightarrow a^6-16=4a^2$$
was total bescheuert aussieht aber man kann $$y=a^2$$ substituieren und bekommt ein Polynom 3. Grades. Hallelujah, und schon haben wir das Problem 4. Grades auf den 3. Grad reduziert. Der Typ bei stackexchange hat dann das Gaußsche Lemma über rationale Nullstellen angewendet um Nullstellen zu „raten“ und kommt auf y=2 und 2 komplexe Nullstellen. Demnach ist $$a=\sqrt 2 \land c=-\sqrt 2$$, woraus sich $$d=1-\sqrt 2 \land b=1+\sqrt 2$$ ergibt.
Daraus entsteht die Faktorisierung $$ (x^2+\sqrt 2 x+1+\sqrt 2)(x^2−2\sqrt x +1-\sqrt 2)$$, was man nun noch schnell pq Formel löst. Ganz einfach also. Äh... nicht!
Rolf
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sumpsi - posui - clusi
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