Mathematik zum Wochenende - Lösung

[Rolf B]

Hallo Matthias,

oh. Das ist ja einfacher als gedacht 😀

Was ich gefunden habe, steht bei math.stackexchange.com: Man setzt das Polynom 4. Grades einem Produkt aus Polynomen 2. Grades gleich. Der Kollege dort hat es für $$x^4+4x-1$$ gemacht, ich versuche mal das hier in die Minus-Version zu übertragen.

$$x^4-4x-1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$

Rechte Seite ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich ergibt:

$$a+c=0 \land b+d+ac=0 \land bc+ad=-4 \land bd=−1$$

Mit $$c = -a$$ ergibt das $$\displaystyle b+d=a^2 \land d-b=-\frac{4}{a} \land bd=-1$$

Aus Summe und Differenz der beiden ersten Gleichungen folgt $$\displaystyle d=\frac{a^2}{2}-\frac 2 a \land b=\frac{a^2} 2 +\frac 2 a$$

und wegen bd=-1 ergibt sich $$\displaystyle \frac{a^4} 4 - \frac 4 {a^2}=-1 \Longleftrightarrow a^6-16=4a^2$$

was total bescheuert aussieht aber man kann $$y=a^2$$ substituieren und bekommt ein Polynom 3. Grades. Hallelujah, und schon haben wir das Problem 4. Grades auf den 3. Grad reduziert. Der Typ bei stackexchange hat dann das Gaußsche Lemma über rationale Nullstellen angewendet um Nullstellen zu „raten“ und kommt auf y=2 und 2 komplexe Nullstellen. Demnach ist $$a=\sqrt 2 \land c=-\sqrt 2$$, woraus sich $$d=1-\sqrt 2 \land b=1+\sqrt 2$$ ergibt.

Daraus entsteht die Faktorisierung $$ (x^2+\sqrt 2 x+1+\sqrt 2)(x^2−2\sqrt x +1-\sqrt 2)$$, was man nun noch schnell pq Formel löst. Ganz einfach also. Äh... nicht!

Rolf