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Gunnar Bittersmann@@Rolf B
Einen Hinweis hatte ich schon dezent versteckt.
Zu dezent für meine dezembermüden Augen.
Naja, wer mich kennt, der weiß, dass man bei meinen Postings nicht jedes Wort auf die Goldwaage legen sollte. Aber manchmal eben doch. 😉
Wenn ich sage „Aber was soll man mit den Näherungslösungen?“, dann soll man auch was damit.
Zum Beispiel kann man sie auf gut Glück mal addieren: x₁ + x₂ ≈ 1.414214.
Oder multiplizieren: x₁x₂ ≈ −0.414214.
Da isse, die trapsende Nachtigall!
Nehmen wir also an, dass x₁ + x₂ = √2 und x₁x₂ = 1 − √2.
Nach Vieta sind x₁ und x₂ dann die Lösungen der quadratischen Gleichung x² − x √2 + 1 − √2 = 0. Welches genau die Gleichung ist, zu der man über die quadratische Ergänzung auch kommt – so man die denn findet.
Da die Lösungen erraten sind (obige Annahme muss ja nicht stimmen), muss man noch zeigen, dass das auch wirklich Lösungen von x⁴ = 4x + 1 sind. Also die Probe machen. Mal schnell x₁₂⁴ ausrechnen. Binomische Formel …
Dass man damit tatsächlich alle reellen Lösungen gefunden hat, geht über folgende Überlegung: y = x⁴ ist eine Parabel 4. Ordnung. Diese wird von der Geraden y = 4x + 1 in genau zwei Punkten geschnitten.
LLAP 🖖
„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
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