Geometrie zum Jahresende

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks werden im selben Verhältnis geteilt.

1. Beweise, dass in der Mitte ein gleichseitiges Dreieck entsteht.
2. In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 7 verhalten?

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks werden im selben Verhältnis geteilt.

1. Beweise, dass in der Mitte ein gleichseitiges Dreieck entsteht.

Richtige Lösungen gab es von @encoder (2 Varianten), @Gunnar Bittersmann und @ottogal.

Variante 1.

Die Drehung der Figur um 120° um den Mittelpunkt von △ABC bildet A auf B ab, B auf C und C auf A sowie D auf E, E auf F und F auf D, also AE auf BF, BF auf CD und CD auf AE, damit aber auch deren Schnittpunkte G auf H, H auf I und I auf G. Folglich ist △GHI gleichseitig. (Formulierung: Gunnar)

Variante 2.

Aufgrund der Symmetrie reicht es, das Dreieck ABH zu betrachten.
Es gilt: ∠HAB + ∠ABH = 60°

∠GHI ist Außenwinkel des Dreiecks ABH. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

2. In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 7 verhalten?

Gunnar und ich haben den Cosinussatz bemüht.

Nun denn: o.B.d.A. AB = 1.

q = AD = BE (Verhältnis der kurzen Strecke zur Seitenlänge des äußeren Dreiecks); p = AG; r = GH (Seitenlänge des inneren Dreiecks); s = DG = EH; t = AE = p + r + s

Die Dreiecke AGD und ABE stimmen in ihren Innenwinkeln überein, sind also ähnlich; es gilt s : q = q : t = p : 1.

Cosinussatz in △ABE: t² = 1 + q² − 2q cos 60° = 1 − q + q²

r = GH : AB ist das Verhältnis der Seitenlängen der Dreiecke; damit ist r² das Verhältnis von deren Flächeninhalten.

$$\begin{align} r &= t - p - s = t - \frac{q}{t} - \frac{q^2}{t}
&= \frac{t^2 - q - q^2}{t} = \frac{1 - 2q}{t}
r^2 &= \frac{\left( 1 - 2q \right)^2}{t^2} = \frac{\left( 1 - 2q \right)^2}{1 − q + q^2} \end{align}$$

Für q = ⅓ ergibt sich wie vermutet r² = ⅟₇. Teilungsverhältnis also 1 : 2, die Oktave.

In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 19 verhalten?
Wenn ich schon so frage, wirds wohl was mit kleinen ganzen Zahlen sein.

Für q = ⅖ ist r² = ⅟₁₉. Teilungsverhältnis 2 : 3, die Quinte.

In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 37 verhalten?
Wenn ich schon so frage, wirds wohl was mit kleinen ganzen Zahlen sein.

Für q = ³⁄₇ ist r² = ⅟₃₇. Teilungsverhältnis 3 : 4, die Quarte.

(Formulierung: Gunnar)

wie vermutet

Sowohl Gunnar als auch Ottogal haben das richtige Verhältnis vermutet, Ottogal hat einen geschickten Zerlegungsbeweis vorgelegt:

Die Seiten des großen Dreiecks müssen jeweils im Verhältnis 1:2 geteilt werden. Man kann dann die ganze Figur in 21 flächengleiche Dreiecke zerlegen, von denen 3 auf das innere Dreieck entfallen. Es hat also 1/7 der Gesamtfläche:

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Kleine Ergänzung:

Die Drehung der Figur um 120° um den Mittelpunkt von △ABC bildet A auf B ab, B auf C und C auf A sowie D auf E, E auf F und F auf D, also AE auf BF, BF auf CD und CD auf AE, damit aber auch deren Schnittpunkte G auf H, H auf I und I auf G

und damit GH auf HI, HI auf IG und IG auf GH

Folglich ist △GHI gleichseitig.

falls da eine Lücke in der Herleitung gewesen sein sollte.

Nun denn: o.B.d.A. AB = 1. […] (Formulierung: Gunnar)

Den Teil hab ich mit Safari nochmal aus meiner DM in Matthias’ Posting kopiert, der NBSPs wegen, die im Firefox verloren gehen.

Man kann dann die ganze Figur in 21 flächengleiche Dreiecke zerlegen

Das muss ich mir mal genauer ansehen, warum die Flächen alle gleich groß sind.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel, hallo @Gunnar Bittersmann

Für q = ⅓ ergibt sich r² = ⅟₇. Teilungsverhältnis also 1 : 2, die Oktave.

Für q = ⅖ ist r² = ⅟₁₉. Teilungsverhältnis 2 : 3, die Quinte.

Für q = ³⁄₇ ist r² = ⅟₃₇. Teilungsverhältnis 3 : 4, die Quarte.

Fehlen noch

• große Terz (4 : 5), r² = 1/61
• kleine Terz (5 : 6), r² = 1/91

Es springt ins Auge, dass 91 keine Primzahl ist.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Für q = ⅓ ergibt sich r² = ⅟₇. Teilungsverhältnis also 1 : 2, die Oktave.

Für q = ⅖ ist r² = ⅟₁₉. Teilungsverhältnis 2 : 3, die Quinte.

Für q = ³⁄₇ ist r² = ⅟₃₇. Teilungsverhältnis 3 : 4, die Quarte.

Fehlen noch

• große Terz (4 : 5), r² = 1/61
• kleine Terz (5 : 6), r² = 1/91

Prime (1 : 1), r² = 0 😏

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Prime (1 : 1), r² = 0 😏

Ein Beweis, dass sich die Seitenhalbierenden eines gleichseitigen Dreiecks in einem Punkt schneiden. 😂

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Prime (1 : 1), r² = 0 😏

Ein Beweis, dass sich die Seitenhalbierenden eines gleichseitigen Dreiecks in einem Punkt schneiden. 😂

Damit die Fläche 0 ist, genügt es, dass sich die Seitenhalbierenden in zwei Punkten schneiden. Aber bei Drehung der Figur um 120° werden diese aufeinander abgebildet. 😏

LLAP 🖖

[ottogal]

Fehlen noch

• große Terz (4 : 5), r² = 1/61
• kleine Terz (5 : 6), r² = 1/91

• (6 : 7), r² = 1/127
• (8 : 9), r² = 1/217
• (10 : 11), r² = 1/331
• (15 : 16), r² = 1/721

Bei den Intervall-Namen dafür muss ich passen.

[ottogal]

Hallo in die Runde, und gute Wünsche für 2019!

Meine ausführliche Lösung:

Zu 1.:
Die ganze Figur ist rotationssymmetrisch, also auch das innere Dreieck. (Sie bzw. es geht bei Drehung um 120° in sich selbst über.)

Zu 2.:

O.B.d.A. sei $$AB=1$$. Wir setzen $$AD=x$$ (sinnvoll ist $$0 \le x \le \frac{1}{2}$$), $$DR=y$$, $$RA=z$$, $$RT=a$$.

Die Dreiecke $$\triangle ADC$$ und $$\triangle RDA$$ sind zueinander ähnlich, da sie in den Winkeln übereinstimmen.
Daher ist $$\frac{AD}{AC}=\frac{RD}{RA}$$, d.h. $$\frac{x}{1}=\frac{y}{z}$$ und somit $$y=xz$$.

Für die Flächeninhalte gilt:

$$A_0=A_{ABC}=\frac{\sqrt 3}{4}$$;

$$3 \cdot A_1=A_{RST}=\frac{\sqrt 3}{4} a^2=A_0 \cdot a^2$$.

Da $$\triangle DRQ$$ ein halbes gleichseitiges Dreieck (mit der Höhe $$d=DQ$$) ist, folgt

$$d=\frac{\sqrt 3}{2} y=\frac{\sqrt 3}{2} xz$$ und damit

$$A_2=A_{RAD}=\frac{1}{2} z \cdot d=\frac{\sqrt 3}{4} xz^2= A_0 \cdot xz^2$$.

Die Dreiecke $$\triangle ADC$$ und $$\triangle ABC$$ haben die Höhe gemeinsam, daher gilt

$$\frac{A_{ADC}}{A_{ABC}}=\frac{x}{1}$$, also $$A_{ADC}=A_0 \cdot x$$.

Damit folgt $$A_{ARC}=A_0 \cdot x - A_2=A_0 \cdot x (1-z^2)$$ und für das innere gleichseitige Dreieck:

$$A_{RST}=A_0-3 \cdot A_{ARC}=A_0(1-3x(1-z^2))$$.

Das Flächenverhältnis von innerem zu äußerem gleichseitigen Dreieck ist also

$$\frac{A_{RST}}{A_0}=1-3x(1-z^2)$$.

Nun gilt aber $$\frac{A_{RST}}{A_0}=a^2$$ (siehe oben). Damit erhalten wir die folgende

Beziehung zwischen den Größen $$a$$, $$x$$ und $$z$$:

|$$(1-a^2)=3x \cdot (1-z^2)$$|

Dies gilt allgemein für jeden Wert im Bereich $$0 \le x \le \frac{1}{2}$$.

Der Spezialfall:

Aus dieser Gleichung erkennt man: $$a=z$$ genau dann, wenn $$x=\frac{1}{3}$$.

Die Vermutung (bzw. Hoffnung): $$x=\frac{1}{3}$$ ist der gesuchte Wert, um das Flächenverhältnis $$a^2=\frac{1}{7}$$ zu erhalten.

Vor.: $$x=\frac{1}{3}$$

Beh.: $$a^2=\frac{1}{7}$$

Beweis:

Mit der Voraussetzung wird aus der obigen Gleichung $$a^2=z^2$$, also $$a=z$$ und mit $$y=xz=xa$$:

$$CD=z+a+y=a(2+x)=a(2+\frac{1}{3})=\frac{7}{3} a$$.

Pythagoras im $$\triangle CDL$$ liefert wegen $$DL=\frac{1}{2}-x=\frac{1}{6}$$:

$$CD^2=(\frac{1}{6})^2+(\frac{\sqrt 3}{2})^2=\frac{7}{9}$$.

Der Vergleich ergibt $$(\frac{7}{3} a)^2=\frac{7}{9}$$,

und daher, wie behauptet, $$a^2=\frac{1}{7}$$.

Nachbemerkung

Zur Zerlegung in 21 flächengleiche Teildreiecke (im Spezialfall $$x=\frac{1}{3}$$):

Die Dreiecke $$\triangle ARD$$ und $$\triangle RSM$$ haben die gleiche Grundseite ($$z$$ bzw. $$a$$) und die gleiche Höhe $$d=\frac{\sqrt 3}{2} xz=\frac{\sqrt 3}{6} a$$; denn dies ist ein Drittel der Höhe von $$\triangle RST$$, da im gleichseitigen Dreieck die Höhen auch die Schwerlinien sind und sich daher im Verhältnis 2:1 schneiden.

Ansonsten ergibt sich die Flächengleichheit der Teildreiecke wegen Übereinstimmung von Grundseite und Höhe (und wegen $$y:z=1:3$$).