Matthias Apsel: Mathematik zum Wochenende

Hallo alle,

da ich morgen und übermorgen keine Zeit habe, gibt es jetzt schon die Aufgabe:

Untersuche, ob es rechtwinklige Dreiecke mit folgenden Eigenschaften gibt:

  • die Maßzahlen der Seitenlängen sind natürliche Zahlen
  • die Maßzahl des Umfangs (in LE) ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts (in LE²)

Gib ggf. alle Dreiecke an.

Bis demnächst
Matthias

-- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
  1. Hallo Matthias,

    hab eins...
    Aber ob das alle sind?

    Rolf

    -- sumpsi - posui - clusi
    1. @@Rolf B

      hab eins...
      Aber ob das alle sind?

      Vor genau der Frage stand ich auch, woraufhin Matthias die Aufgabenstellung erweitert hat. 😜

      LLAP 🖖

      -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
    2. Ein bisschen würde ich noch suchen.

      1. @@encoder

        Ein bisschen würde ich noch suchen.

        Darf’s ein bisschen mehr sein?

        LLAP 🖖

        -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
        1. Hallo,

          Darf’s ein bisschen mehr sein?

          Möchtest du andeuten, mehr als zwei gefunden zu haben oder dass die Suche so zeitaufwändig ist?

          Gruß
          Kalk

          1. Hallo,

            Möchtest du andeuten, mehr als zwei gefunden zu haben oder dass die Suche so zeitaufwändig ist?

            wobei ich die gespiegelten nicht zähle. Sonst kommt man wohl auf vier.

            Gruß
            Kalk

            1. Hallo Tabellenkalk,

              es gibt sicherlich mehr als 4, aber - vorausgesetzt mein Beweis stimmt - nicht in der euklidischen Ebene. Aus Gründen der Faulheit habe ich mich darauf beschränkt.

              Rolf

              -- sumpsi - posui - clusi
              1. Hallo,

                nicht in der euklidischen Ebene.

                Stimmt, die hatte ich nicht auf dem Schirm…

                Gruß
                Kalk

                1. Hallo,

                  Stimmt, die hatte ich nicht auf dem Schirm…

                  Also muss die erweiterte Frage so lauten: Wieviele Segmente muss ein Schirm haben, damit das Verhältnis von Segmentsdreiecksmaßzahlen zu Schirmbogenkrümmungsradius ein Ganzzahliges ist?

                  Gruß
                  Kalk

          2. @@Tabellenkalk

            Darf’s ein bisschen mehr sein?

            Möchtest du andeuten, mehr als zwei gefunden zu haben

            Nein, das war nur so ’n Spruch.

            oder dass die Suche so zeitaufwändig ist?

            Oder dass man eine Begründung findet, warum die weitere Suche endlos wäre.

            LLAP 🖖

            -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  2. @@Matthias Apsel

    da ich morgen und übermorgen keine Zeit habe

    Das wäre nicht so schlimm gewesen, ich hätte da noch was gehabt. Dann muss die Aufgabe eben warten.

    LLAP 🖖

    -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  3. Hallo Matthias Apsel,

    Untersuche, ob es rechtwinklige Dreiecke mit folgenden Eigenschaften gibt:

    • die Maßzahlen der Seitenlängen sind natürliche Zahlen
    • die Maßzahl des Umfangs (in LE) ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts (in LE²)

    Gib ggf. alle Dreiecke an.

    Ergänzung:

    Gib ggf. alle rechtwinkligen Dreiecke mit folgenden Eigenschaften an:

    • die Maßzahlen der Seitenlängen sind natürliche Zahlen in mm
    • die Maßzahl des Umfangs in cm ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts in mm²
    • die Maßzahlen der Seitenlängen sind natürliche Zahlen in mm
    • die Maßzahl des Umfangs in mm ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts in cm²

    Bis demnächst
    Matthias

    -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
  4. Hallo alle,

    nachdem es die Aufgabe ja schon am Donnerstagabend gab, gibt es auch die Lösung ein wenig eher. Die Lösungen kann man durch Probieren finden, spannender die Frage, ob es tatsächlich alle Möglichkeiten sind.

    Eine Lösung kam von @MudGuard, Lösungen inklusive Vollständigkeit von @Rolf B und @Gunnar Bittersmann.


    \begin{align} a+b+c &= \frac{ab}{2} \\ a+b &= \frac{ab}{2} -c \\ a^2+2ab+b^2 &= \frac{a^2b^2}{4} - abc +c^2 &&|\ a^2+b^2 = c^2\\ 2ab &= \frac{a^2b^2}{4} - abc &&| : ab\\ 2 &= \frac{ab}{4}-c\\ c &= \frac{ab}{4}-2\\ \\ \text{Dies wieder einsetzen:}\\ a+b+\frac{ab}{4}-2&=\frac{ab}{2}\\ \text{und nach }a \text{ umstellen:}\\ a&=\frac{4b-8}{b-4}\\ \text{Polynomdivision liefert:}\\ a&=4+\frac{8}{b-4} \end{align}

    Damit a eine natürliche Zahl ist, muss gelten:

    b - 4 b a c
    1 5 12 13
    2 6 8 10
    4 8 6 10
    8 12 5 13

    Damit gibt es also genau zwei verschiedene Dreiecke, für die das gilt.

    Einfacher geht es über die Formeln zur Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel. Für teilerfremde v < u ist

    • x = u² - v²
    • y = 2uv
    • z = u² + v²

    ein pythoräisches Zahlentripel.

    \begin{align} u^2-v^2+2uv+u^2+v^2 &= \frac{1}{2}(u^2-v^2)\ 2uv\\ 2u^2+2uv &= (u^2-v^2)\ uv\\ 2u (u+v) &= (u^2-v^2)\ uv\\ 2 (u+v) &= (u+v)(u-v)\ v\\ 2 &= (u-v)\ v \end{align}

    Diese Gleichung ist in ℕ nur lösbar für v = 1 oder v = 2.

    v u x y z
    1 3 8 6 10
    2 3 5 12 13

    Analog erhält man für Umfang in mm und Fläche in cm² die Gleichung

    0,2 = (u-v) v

    die keine Lösung in ℕ hat, sowie für Umfang in cm und Fläche in mm² die Gleichung

    200 = (u-v) v.

    v u-v u x y z   Umfang Fläche
    1 200 201 40400 402 40402   81204 8120400
    2 100 102       u und v nicht teilerfremd    
    4 50 54       u und v nicht teilerfremd    
    5 40 45       u und v nicht teilerfremd    
    8 25 33 1025 528 1153   2706 270600
    10 20 30       u und v nicht teilerfremd    
    20 10 30       u und v nicht teilerfremd    
    25 8 33 464 1650 1714   3828 382800
    50 4 54       u und v nicht teilerfremd    
    100 2 102       u und v nicht teilerfremd    
    200 1 201 401 80400 80401   161202 16120200

    Bis demnächst
    Matthias

    -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    1. Hi,

      nachdem es die Aufgabe ja schon am Donnerstagabend gab, gibt es auch die Lösung ein wenig eher. Die Lösungen kann man durch Probieren finden, spannender die Frage, ob es tatsächlich alle Möglichkeiten sind.

      Eine Lösung kam von @MudGuard,

      Genau!

      Lösungen inklusive Vollständigkeit

      wurden erst danach gefordert … nulla poena sine lege praevia …

      cu,
      Andreas a/k/a MudGuard

    2. Mein Versuch sah so aus:

      Wir formen die Pythagoras-Gleichung um:

      a^2+b^2=c^2
      a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=(c-b)(c-b+2b)

      Wir setzen s=c-b und erhalten

      a^2=s(s+2b) und nach Division durch s^2:

      \frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s}.

      Auflösen nach b ergibt

      b=\frac{s}{2} \cdot (\frac{a^2}{s^2}-1).

      Damit b ganzzahlig wird, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

      1.: s muss gerade sein.

      2.: \frac{a}{c} muss ganzzahlig sein, etwa a=s \cdot t mit ganzzahligem t.

      Mit t können wir kurz schreiben:

      (1) \quad b=\frac{s}{2} \cdot (t^2-1).

      Nun kommt die Bedingung ins Spiel, dass der Flächeninhalt und der Umfang des Dreiecks die selbe Maßzahl haben sollen; es soll also gelten:

      \frac{1}{2} ab = a+b+c; mit c=b+s wird daraus

      \frac{1}{2} ab = a+2b+s.

      Wir dividieren durch a:

      \frac{b}{2}=1+2\frac{b}{a}+\frac{s}{a}

      Wegen (1) ist 2\frac{b}{a}=\frac{s}{a}(t^2-1); dies eingesetzt folgt mit \frac{s}{a}=\frac{1}{t}:

      \frac{b}{2}=1+\frac{1}{t}(t^2-1)+\frac{1}{t}

      und man erhält schließlich

      (2) \quad b=2(t+1)

      Weiter folgt aus (1):

      s=\frac{2b}{t^2-1}, und mit (2) daraus

      s=\frac{4(t+1)}{t^2-1}=\frac{4(t+1)}{(t+1)(t-1)}=\frac{4}{t-1}.

      Nun bekommen wir

      a=s \cdot t=4 \cdot \frac{t}{t-1}= 4 \cdot \frac{t-1+1}{t-1}

      also

      (3) \quad a=4+\frac{4}{t-1}

      a ist nur ganzzahlig, wenn \frac{4}{t-1} ganzzahlig ist. t-1 muss also Teiler von 4 sein, kann also nur 1, 2 oder 4 sein.
      Also ist t=2, t=3 oder t=5.

      Somit erhält man nur die Tripel (8,6,10), (6,8,10) und (5,12,13). Zählt man den Fall mit vertauschten Katheten nicht mit, gibt es nur 2 derartige Dreiecke.

      1. Typo:

        2.: \frac{a}{c} muss ganzzahlig sein

        sollte natürlich heißen
        2.: \frac{a}{s} muss ganzzahlig sein

        Mit weniger Ablenkung durch Glühwein etc. sah ich, dass mein Weg von

        \frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s} zu b=2(t+1) doch sehr umwegig war.

        Hier eine revidierte Fassung:

        Wir formen die Pythagoras-Gleichung um:

        a^2+b^2=c^2
        a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=(c-b)(c-b+2b)

        Wir setzen s=c-b und erhalten

        a^2=s(s+2b) und nach Division durch s^2:

        \frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s}.

        Wir setzen zur Abkürzung

        \frac{a}{s}=t.

        Somit gilt t^2=1+\frac{2b}{s}, also

        (1) \quad \frac{2b}{s}=t^2-1.

        Die Bedingung, dass der Flächeninhalt und der Umfang des Dreiecks die selbe Maßzahl haben sollen, lautet:

        \frac{1}{2} ab = a+b+c. Mit c=b+s wird daraus

        \frac{1}{2} ab = a+2b+s.

        Wir dividieren durch s:

        \frac{b}{2} \cdot \frac{a}{s}=\frac{a}{s}+\frac{2b}{s}+1.

        Einsetzen von t für \frac{a}{s} und von t^2-1 für \frac{2b}{s} ergibt

        \frac{b}{2} \cdot t=t+t^2-1+1, somit

        \frac{b}{2} \cdot t=t(1+t).

        Nach Multiplikation mit \frac{2}{t} haben wir schließlich

        (2) \quad b=2(t+1).

        Da b ganzzahlig sein soll, muss auch t ganzzahlig sein.

        Weiter folgt aus (1):

        s=\frac{2b}{t^2-1}, und mit (2) daraus

        s=\frac{4(t+1)}{t^2-1}=\frac{4(t+1)}{(t+1)(t-1)};

        Nach Kürzen des Faktors (t+1) erhält man

        s=\frac{4}{t-1}.

        Wegen a=s \cdot t bekommen wir

        a=\frac{4t}{t-1}=4 \cdot \frac{t}{t-1}= 4 \cdot \frac{t-1+1}{t-1}=4+\frac{4}{t-1}.

        a ist nur ganzzahlig, wenn \frac{4}{t-1} ganzzahlig ist. t-1 muss also Teiler von 4 sein, kann also nur 1, 2 oder 4 sein.
        Also ist t=2, t=3 oder t=5.

        Somit erhält man nur die Tripel (8,6,10), (6,8,10) und (5,12,13). Zählt man den Fall mit vertauschten Katheten nicht mit, gibt es nur 2 derartige Dreiecke.