Mathematik zum Wochenende - Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

nachdem es die Aufgabe ja schon am Donnerstagabend gab, gibt es auch die Lösung ein wenig eher. Die Lösungen kann man durch Probieren finden, spannender die Frage, ob es tatsächlich alle Möglichkeiten sind.

Eine Lösung kam von @MudGuard, Lösungen inklusive Vollständigkeit von @Rolf B und @Gunnar Bittersmann.

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$$\begin{align} a+b+c &= \frac{ab}{2}
a+b &= \frac{ab}{2} -c
a^2+2ab+b^2 &= \frac{a^2b^2}{4} - abc +c^2 &&|\ a^2+b^2 = c^2
2ab &= \frac{a^2b^2}{4} - abc &&| : ab
2 &= \frac{ab}{4}-c
c &= \frac{ab}{4}-2\

\text{Dies wieder einsetzen:}\

a+b+\frac{ab}{4}-2&=\frac{ab}{2}
\text{und nach }a \text{ umstellen:}
a&=\frac{4b-8}{b-4}
\text{Polynomdivision liefert:}
a&=4+\frac{8}{b-4} \end{align}$$

Damit a eine natürliche Zahl ist, muss gelten:

b - 4	b	a	c
1	5	12	13
2	6	8	10
4	8	6	10
8	12	5	13

Damit gibt es also genau zwei verschiedene Dreiecke, für die das gilt.

Einfacher geht es über die Formeln zur Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel. Für teilerfremde v < u ist

• x = _u_² - _v_²
• y = 2_uv_
• z = _u_² + _v_²

ein pythoräisches Zahlentripel.

$$\begin{align} u^2-v^2+2uv+u^2+v^2 &= \frac{1}{2}(u^2-v^2)\ 2uv
2u^2+2uv &= (u^2-v^2)\ uv
2u (u+v) &= (u^2-v^2)\ uv
2 (u+v) &= (u+v)(u-v)\ v
2 &= (u-v)\ v \end{align}$$

Diese Gleichung ist in ℕ nur lösbar für v = 1 oder v = 2.

v	u	x	y	z
1	3	8	6	10
2	3	5	12	13

Analog erhält man für Umfang in mm und Fläche in cm² die Gleichung

0,2 = (u-v) v

die keine Lösung in ℕ hat, sowie für Umfang in cm und Fläche in mm² die Gleichung

200 = (u-v) v.

v	u-v	u	x	y	z		Umfang	Fläche
1	200	201	40400	402	40402		81204	8120400
2	100	102				u und v nicht teilerfremd
4	50	54				u und v nicht teilerfremd
5	40	45				u und v nicht teilerfremd
8	25	33	1025	528	1153		2706	270600
10	20	30				u und v nicht teilerfremd
20	10	30				u und v nicht teilerfremd
25	8	33	464	1650	1714		3828	382800
50	4	54				u und v nicht teilerfremd
100	2	102				u und v nicht teilerfremd
200	1	201	401	80400	80401		161202	16120200

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Bis demnächst
Matthias