Mathematik zur Wochenmitte – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Rechtwinkliges Dreieck, Kathetenlängen 3 und 4. Zeige, dass die Hypotenuse dann 5 lang ist … ohne Pythagoras und seine Abkömmlinge

Sehr schöne Lösung von @encoder: Rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen 3 und 4 hat die Fläche 6. Wir setzen 4 davon folgendermaßen zusammen:

Es ergibt sich ein Quadrat, dessen Fläche 4 × 6 + 1 = 25 ist, dessen Seitenlänge also 5, was auch die gesuchte Länge der Hypotenuse ist.

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Ich hatte es über Verhältnisse von Seitenlängen in ähnlichen Dreiecken gemacht: o.B.d.A. a = 3, b = 4.

$$\frac{h}{p} = \frac{q}{h} = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$$

$$h = \tfrac{4}{3} p, \quad q = \tfrac{4}{3} h, \quad q = \tfrac{16}{9} p, \quad c = p + q = \tfrac{25}{9} p$$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist einerseits ½ch, andererseits ½ab.

$$\begin{align} c \cdot h &= a \cdot b
\tfrac{25}{9} p \cdot \tfrac{4}{3} p = \tfrac{100}{27} p^2 &= 12
p^2 &= \tfrac{12 \cdot 27}{100} = \tfrac{81}{25}, \quad p = \tfrac{9}{5}, \quad c = \tfrac{25}{9} \cdot \tfrac{9}{5} = 5 \end{align}$$

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Beim Versuch, es auf diesem Weg allgemein durchzurechnen, also mit a und b anstatt mit 3 und 4, kam ich nicht weiter. Dazu muss man sich die richtigen™ Verhältnisse vornehmen, wie es @Rolf B gemacht hat:

$$\frac{b}{c} = \frac{q}{b}, \quad \frac{a}{c} = \frac{p}{a}$$

$$q = \frac{b^2}{c}, \quad p = \frac{a^2}{c}, \quad c = p + q = \frac{a^2 + b^2}{c}, \quad c^2 = a^2 + b^2$$

3 und 4 eingesetzt ergibt c = 5. Wir haben den Pythagoras hier nicht benutzt, wie haben ihn bewiesen.

LLAP 🖖