Mathematik zur Wochenmitte

[Gunnar Bittersmann]

Die heutige Aufgabe kommt wohl mal ohne Skizze aus: Rechtwinkliges Dreieck, Kathetenlängen 3 und 4. Zeige, dass die Hypotenuse dann 5 lang ist.

Jetzt schwirren wohl die Fragezeichen in euren Köpfen herum: „Was soll das denn?“ Hatte ich schon erwähnt, dass man das ohne Pythagoras und seine Abkömmlinge zeigen soll?

LLAP 🖖

[pl]

Die heutige Aufgabe kommt wohl mal ohne Skizze aus: Rechtwinkliges Dreieck, Kathetenlängen 3 und 4. Zeige, dass die Hypotenuse dann 5 lang ist.

Jetzt schwirren wohl die Fragezeichen in euren Köpfen herum: „Was soll das denn?“ Hatte ich schon erwähnt, dass man das ohne Pythagoras und seine Abkömmlinge zeigen soll?

Man könnte es über die trigonometrischen Funktionen (arcsin, arctan) zeigen. Die eigentliche Beweisführung besteht jedoch darin, zu zeigen, daß alle Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben 😉

MfG

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Rechtwinkliges Dreieck, Kathetenlängen 3 und 4. Zeige, dass die Hypotenuse dann 5 lang ist … ohne Pythagoras und seine Abkömmlinge

Sehr schöne Lösung von @encoder: Rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen 3 und 4 hat die Fläche 6. Wir setzen 4 davon folgendermaßen zusammen:

Es ergibt sich ein Quadrat, dessen Fläche 4 × 6 + 1 = 25 ist, dessen Seitenlänge also 5, was auch die gesuchte Länge der Hypotenuse ist.

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Ich hatte es über Verhältnisse von Seitenlängen in ähnlichen Dreiecken gemacht: o.B.d.A. a = 3, b = 4.

$$\frac{h}{p} = \frac{q}{h} = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$$

$$h = \tfrac{4}{3} p, \quad q = \tfrac{4}{3} h, \quad q = \tfrac{16}{9} p, \quad c = p + q = \tfrac{25}{9} p$$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist einerseits ½ch, andererseits ½ab.

$$\begin{align} c \cdot h &= a \cdot b
\tfrac{25}{9} p \cdot \tfrac{4}{3} p = \tfrac{100}{27} p^2 &= 12
p^2 &= \tfrac{12 \cdot 27}{100} = \tfrac{81}{25}, \quad p = \tfrac{9}{5}, \quad c = \tfrac{25}{9} \cdot \tfrac{9}{5} = 5 \end{align}$$

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Beim Versuch, es auf diesem Weg allgemein durchzurechnen, also mit a und b anstatt mit 3 und 4, kam ich nicht weiter. Dazu muss man sich die richtigen™ Verhältnisse vornehmen, wie es @Rolf B gemacht hat:

$$\frac{b}{c} = \frac{q}{b}, \quad \frac{a}{c} = \frac{p}{a}$$

$$q = \frac{b^2}{c}, \quad p = \frac{a^2}{c}, \quad c = p + q = \frac{a^2 + b^2}{c}, \quad c^2 = a^2 + b^2$$

3 und 4 eingesetzt ergibt c = 5. Wir haben den Pythagoras hier nicht benutzt, wie haben ihn bewiesen.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

hätte ich doch besser erstmal gelesen was Du hier geschrieben hat bevor ich den blöden Typo in meiner Einsendung als Nachtrag gefixt habe. Danke, dass Du das nicht erwähnt hast 😂

+10 für Encoder. Nach so einer Lösung hatte ich gesucht, hatte aber aber einen etwas anderen Ansatz und kam damit auf eine Raute, hätte Pythagoras gebraucht zum weiterkommen und habe den Weg dann verlassen. Nachdem ich numerisch fast durch war, müffelte mir der Weg doch sehr griechisch. Deshalb habe ich 3 und 4 durch a und b ersetzt und - ups - versehentlich den alten Herrn bewiesen :)

Allerdings ist Encoders Lösung auch ein versteckter Pythagorasbeweis. Ersetzt man 4 durch a und 3 durch b (wobei man oBdA annimmt, dass a > b), dann steht da

$$c^2=4\frac{ab}{2}+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$$

Muss ja auch so herauskommen. 😂

Rolf

[encoder]

hatte aber aber einen etwas anderen Ansatz und kam damit auf eine Raute

Bei der war ich auch lange gehängt. Dann kam ich über Umwege darauf dass man die Dreiecke auf mehrere Arten kombinieren kann. Übel, wie versteift man manchmal in seiner Lösungssuche ist.

[JürgenB]

Hallo,

mir haben diese Beweise gut gefalen, ich wollte aber keine Wiki-Kopie einreichen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras#Geometrischer_Beweis_durch_Ergänzung

Gruß
Jürgen

[Rolf B]

Hallo JürgenB,

Encoders Ansatz findet bildlich sich in der Wikipedia unter dem animierten Pythagoras-2a.gif wieder; ich finde aber die Argumentation dort viel umständlicher als das, was wir hier gefunden haben.

Mein Ähnlichkeitsbeweis steht da auch drin. Ich habe allerdings nicht in der Wikipedia nachgeschaut; den hatte ich mir tatsächlich selbst überlegt 😀. Die in Wikipedia angestellte Überlegung mit der Identität der beiden Delta-Winkel ist auch überflüssig.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

wobei man oBdA annimmt, dass a > b

Vorsicht, Kinder! Das kann man nicht annehmen, da das eine Beschränkung der Allgemeinheit ist.

O.B.d.A. kann man annehmen, dass a ≥ b ist.

LLAP 🖖