Gunnar Bittersmann: Mathematik zum Wochenanfang

Die heutige Aufgabe kommt auch wieder ohne Skizze aus:

Finde alle ganzen Zahlen n, für die n³ − 7n + 9 prim ist.

LLAP 🖖

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„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  1. Hey,

    Gefunden.

    Gruß
    Jo

    1. @@J o

      Lösungen gern per DM („Post“ heißt das hier auf altdeutsch) an mich. (Button „Autor kontaktieren“)

      LLAP 🖖

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      „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  2. Hallo Gunnar,

    welch gruselige Aufgabe. Für Gymnasiasten in NRW heutzutage unlösbar.

    Rolf

    --
    sumpsi - posui - clusi
    1. @@Rolf B

      welch gruselige Aufgabe.

      Nicht wahr?

      Für Gymnasiasten in NRW heutzutage unlösbar.

      Und für deren Eltern? 😜

      LLAP 🖖

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      „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
      1. Hallo Gunnar,

        jaa jaaa - war NATÜRLICH nicht GANZ so einfach.

        Rolf

        --
        sumpsi - posui - clusi
  3. Hi,

    Finde alle ganzen Zahlen n, für die n³ − 7n + 9 prim ist.

    hier hast Du: ℤ (die paar Zahlen, auf die die Bedingung nicht zutrifft, schenke ich Dir vollkommen gratis dazu ;-))

    cu,
    Andreas a/k/a MudGuard

    1. @@MudGuard

      hier hast Du: ℤ (die paar Zahlen, auf die die Bedingung nicht zutrifft, schenke ich Dir vollkommen gratis dazu ;-))

      Du bist aber knauserig. Du hättest mir auch ℚ schenken können; das hätte dich auch nicht mehr gekostet. 😉

      LLAP 🖖

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      „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  4. @@Gunnar Bittersmann

    Finde alle ganzen Zahlen n, für die n³ − 7n + 9 prim ist.

    Zunächst ist die Erkenntnis hilfreich, dass n³ − 7n + 9 für alle ganzzahligen n durch 3 teilbar ist.

    Beweis durch vollständige Induktion: Für n = 0 ist n³ − 7n + 9 = 9 durch 3 teilbar.

    Wenn n³ − 7n + 9 durch 3 teilbar ist, dann ist auch (n + 1)³ − 7(n + 1) + 9 durch 3 teilbar, denn:
    (n + 1)³ − 7(n + 1) + 9 = n³ + 3n² + 3n + 1 − 7n − 7 + 9 = n³ − 7n + 9 + 3n² + 3n − 6
    und sowohl n³ − 7n + 9 als auch 3n² + 3n − 6 sind durch 3 teilbar.

    Haben wir nun gezeigt, dass n³ − 7n + 9 für alle ganzzahligen n durch 3 teilbar ist? Nei-en! Wir haben das für alle nichtnegativen ganzzahligen n gezeigt. Fehlen noch die negativen! Also den Induktionsschritt noch mal für (n − 1)³ − 7(n − 1) + 9.

    Oder gleich so:
    (n ± 1)³ − 7(n ± 1) + 9 = n³ ± 3n² + 3n ± 1 − 7n ∓ 7 + 9 = n³ − 7n + 9 ± 3n² + 3n ∓ 6 ist durch 3 teilbar, weil sowohl n³ − 7n + 9 als auch ±3n² + 3n ∓ 6 durch 3 teilbar sind.

    Wenn nun eine durch 3 teilbare Zahl prim sein soll, dann muss es die 3 selbst sein: n³ − 7n + 9 = 3, also n³ − 7n + 6 = 0.

    Durch Probieren findet man n₁ = 1. Polynomdivision durch n − 1 ergibt n² + n − 6 = (n − 2)(n + 3). n₂ = 2; n₃ = −3.

    (Man könnte nun vielleicht auch argumentieren, dass n³ − 7n + 9 auch −3 sein dürfte. n³ − 7n + 12 = 0 hat aber keine ganzzahligen Lösungen.)

    1, 2 und −3 sind die einzigen ganzen Zahlen, für die n³ − 7n + 9 prim ist.

    LLAP 🖖

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    „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann