Mathematik zum Wochenende – Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
Mich erreichten zwei Lösungen; beide hatten die Sekante *AD* und die Tangente in *F* bis zu ihrem Schnittpunkt verlängert. Aber wozu in die Ferne schweifen …?
[![](/images/92dcd7a6-900d-4c2b-b8b2-2c44eafb0ffb.jpeg?size=medium)](/images/92dcd7a6-900d-4c2b-b8b2-2c44eafb0ffb.jpeg)
[![Skizze](/images/9af73a64-13be-4f9a-9c0f-b4955d8045aa.jpeg?size=medium)](/images/9af73a64-13be-4f9a-9c0f-b4955d8045aa.jpeg)
*O* Mittelpunkt des Kreises *O*₁; *M* Mittelpunkt des Kreises *O*₂; *Q* Schnittpunkt von *AD* und *OB*.
Damit sich die beiden Kreise in *F* berühren (sie also in *F* eine gemeinsame Tangente haben), muss *M* auf *OF* liegen.
∠*HOA* = ½∟ = ¼π.
Der zu diesem Zentriwinkel gehörige Peripheriewinkel ist halb so groß: ∠*HDA* ≡ ∠*ODQ* = ⅛π.
Die Dreiecke *DOQ* und *MPQ* stimmen im Winkel ∠*DQO* ≡ ∠*PQM* sowie im rechten Winkel überein, damit ist ∠*QMP* = ⅛π.
Ebenso groß ist auch die Summe ∠*FPM* + ∠*MFP* = ⅛π. Wegen *MP* = *MF* (Radien des Kreises *O*₂) sind beide Winkel gleich groß, also ∠*MFP* = ⅟₁₆π.
∠*AFB* = ∠*HDA* = ⅛π.
∠*AFP* = ∠*AFB* + ∠*MFP* = ³⁄₁₆π.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zum Wochenende – Lösung
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Mich erreichten zwei Lösungen; beide hatten die Sekante *AD* und die Tangente in *F* bis zu ihrem Schnittpunkt verlängert. Aber wozu in die Ferne schweifen …?
[![Skizze](/images/9af73a64-13be-4f9a-9c0f-b4955d8045aa.jpeg?size=medium)](/images/9af73a64-13be-4f9a-9c0f-b4955d8045aa.jpeg)
*O* Mittelpunkt des Kreises *O*₁; *M* Mittelpunkt des Kreises *O*₂; *Q* Schnittpunkt von *AD* und *OB*.
Damit sich die beiden Kreise in *F* berühren (sie also in *F* eine gemeinsame Tangente haben), muss *M* auf *OF* liegen.
∠*HOA* = ½∟ = ¼π.
Der zu diesem Zentriwinkel gehörige Peripheriewinkel ist halb so groß: ∠*HDA* ≡ ∠*ODQ* = ⅛π.
Die Dreiecke *DOQ* und *MPQ* stimmen im Winkel ∠*DQO* ≡ ∠*PQM* sowie im rechten Winkel überein, damit ist ∠*QMP* = ⅛π.
Ebenso groß ist auch die Summe ∠*FPM* + ∠*MFP* = ⅛π. Wegen *MP* = *MF* (Radien des Kreises *O*₂) sind beide Winkel gleich groß, also ∠*MFP* = ⅟₁₆π.
∠*AFB* = ∠*HDA* = ⅛π.
∠*AFP* = ∠*AFB* + ∠*MFP* = ³⁄₁₆π.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
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Mich erreichten zwei Lösungen; beide hatten die Sekante *AD* und die Tangente in *F* bis zu ihrem Schnittpunkt verlängert. Aber wozu in die Ferne schweifen …?
[![](/images/9af73a64-13be-4f9a-9c0f-b4955d8045aa.jpeg?size=medium)](/images/9af73a64-13be-4f9a-9c0f-b4955d8045aa.jpeg)
*O* Mittelpunkt des Kreises *O*₁; *M* Mittelpunkt des Kreises *O*₂; *Q* Schnittpunkt von *AD* und *OB*.
Damit sich die beiden Kreise in *F* berühren (sie also in *F* eine gemeinsame Tangente haben), muss *M* auf *OF* liegen.
∠*HOA* = ½∟ = ¼π.
Der zu diesem Zentriwinkel gehörige Peripheriewinkel ist halb so groß: ∠*HDA* ≡ ∠*ODQ* = ⅛π.
Die Dreiecke *DOQ* und *MPQ* stimmen im Winkel ∠*DQO* ≡ ∠*PQM* sowie im rechten Winkel überein, damit ist ∠*QMP* = ⅛π.
Ebenso groß ist auch die Summe ∠*FPM + ∠*MFP* = ⅛π. Wegen *MP* = *MF* (Radien des Kreises *O*₂) sind beide Winkel gleich groß, also ∠*MFP* = ⅟₁₆π.
∠*AFB* = ∠*HDA* = ⅛π.
∠*AFP* = ∠*AFB* + ∠*MFP* = ³⁄₁₆π.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
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Mich erreichten zwei Lösungen; beide hatten die Sekante *AD* und die Tangente in *F* bis zu ihrem Schnittpunkt verlängert. Aber wozu in die Ferne schweifen …?
[![](/images/9af73a64-13be-4f9a-9c0f-b4955d8045aa.jpeg?size=medium)](/images/9af73a64-13be-4f9a-9c0f-b4955d8045aa.jpeg)
*O* Mittelpunkt des Kreises *O*₁; *M* Mittelpunkt des Kreises *O*₂; *Q* Schnittpunkt von *AD* und *OB*.
Damit sich die beiden Kreise in *F* berühren (sie also in *F* eine gemeinsame Tangente haben), muss *M* auf *OF* liegen.
∠*AOH* = ½∟ = ¼π.
Der zu diesem Zentriwinkel gehörige Peripheriewinkel ist halb so groß: ∠*HDA* ≡ ∠*ODQ* = ⅛π.
Die Dreiecke *DOQ* und *MPQ* stimmen im Winkel ∠*DQO* ≡ ∠*PQM* sowie im rechten Winkel überein, damit ist ∠*QMP* = ⅛π.
Ebenso groß ist auch die Summe ∠*FPM + ∠*MFP* = ⅛π. Wegen *MP* = *MF* (Radien des Kreises *O*₂) sind beide Winkel gleich groß, also ∠*MFP* = ⅟₁₆π.
∠*AFB* = ∠*HDA* = ⅛π.
∠*AFP* = ∠*AFB* + ∠*MFP* = ³⁄₁₆π.
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Mich erreichten zwei Lösungen; beide hatten die Sekante *AD* und die Tangente in *F* bis zu ihrem Schnittpunkt verlängert. Aber wozu in die Ferne schweifen …?
*O* Mittelpunkt des Kreises *O*₁; *M* Mittelpunkt des Kreises *O*₂; *Q* Schnittpunkt von *AD* und *OB*.
Damit sich die beiden Kreise in *F* berühren (sie also in *F* eine gemeinsame Tangente haben), muss *M* auf *OF* liegen.
∠*AOH* = ½∟ = ¼π.
Der zu diesem Zentriwinkel gehörige Peripheriewinkel ist halb so groß: ∠*HDA* ≡ ∠*ODQ* = ⅛π.
Die Dreiecke *DOQ* und *MPQ* stimmen im Winkel ∠*DQO* ≡ ∠*PQM* sowie im rechten Winkel überein, damit ist ∠*QMP* = ⅛π.
Ebenso groß ist auch die Summe ∠*FPM + ∠*MFP* = ⅛π. Wegen *MP* = *MF* (Radien des Kreises *O*₂) sind beide Winkel gleich groß, also ∠*MFP* = ⅟₁₆π.
∠*AFB* = ∠*HDA* = ⅛π.
∠*AFP* = ∠*AFB* + ∠*MFP* = ³⁄₁₆π.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)