Gunnar Bittersmann: Mathematik zum Wochenende

Gerade kam ein Aufgabe übern Ticker, die ich euch nicht vorenthalten möchte:

Skizze

Kreise O₁ and O₂. Die Punkte A bis H teilen O₁ in 8 gleiche Abschnitte. O₂ ist tangent zu O₁ im Punkt F und tangent zur Sekante AD im Punkt P. Wie groß ist der Winkel ∠AFP?

LLAP 🖖

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“When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
  1. @@Gunnar Bittersmann

    Mich erreichten zwei Lösungen; beide hatten die Sekante AD und die Tangente in F bis zu ihrem Schnittpunkt verlängert. Aber wozu in die Ferne schweifen …?

    Skizze

    O Mittelpunkt des Kreises O₁; M Mittelpunkt des Kreises O₂; Q Schnittpunkt von AD und OB.

    Damit sich die beiden Kreise in F berühren (sie also in F eine gemeinsame Tangente haben), muss M auf OF liegen.

    HOA = ½∟ = ¼π.

    Der zu diesem Zentriwinkel gehörige Peripheriewinkel ist halb so groß: ∠HDA ≡ ∠ODQ = ⅛π.

    Die Dreiecke DOQ und MPQ stimmen im Winkel ∠DQO ≡ ∠PQM sowie im rechten Winkel überein, damit ist ∠QMP = ⅛π.

    Ebenso groß ist auch die Summe ∠FPM + ∠MFP = ⅛π. Wegen MP = MF (Radien des Kreises O₂) sind beide Winkel gleich groß, also ∠MFP = ⅟₁₆π.

    AFB = ∠HDA = ⅛π.

    AFP = ∠AFB + ∠MFP = ³⁄₁₆π.

    LLAP 🖖

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