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Der Radius der Zylinder-Grundfläche ist der Umkreisradius des gleichseitigen Dreiecks mit der Flächendiagonalen des Würfels als Seitenlänge. Da der Umkreismittelpunkt auch der Schwerpunkt ist, beträgt der Radius $$ \frac{2}{3} $$ der Dreieckshöhe.
Das könnte etwas mehr Erklärung vertragen, denke ich.
Okay, meinen Beweis fing ich so an:
<zitat>
O.b.d.A. sei die Kantenlänge des Würfels $$ 1 $$. Seine Flächendiagonalen sind also $$ \sqrt{2} $$, seine Raumdiagonalen $$ \sqrt{3} $$ und sein Volumen $$ 1 $$.
Bei den Kreisen handelt es sich jeweils um den Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks mit der Flächendiagonalen des Würfels als Seite. Die Höhe des Dreiecks ist somit $$ \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{6} $$.
Da der Umkreismittelpunkt auch der Schwerpunkt des Dreiecks ist und dieser die Höhe im Verhältnis 1:2 teilt, beträgt der Umkreisradius 2/3 der Höhe, also $$ \frac{1}{3} \sqrt{6} $$.
</zitat>
Hier habe ich die Kenntnis, dass die Schwerlinien im Dreieck sich im Verhältnis 1:2 teilen, vorausgesetzt. Lässt sich aber auch schnell einsehen (Strahlensätze):
In unserm Fall siehts dann so aus:
Rolf B
Tabellenkalk
Gunnar Bittersmann