ottogal: Kleine Berechnungsaufgabe zum Dienstagmorgen

Hallo in die Runde,

zwei parallele Kreise durch je drei der Würfelecken bilden Grund- und Deckfläche eines Zylinders:

2018-01-30_ottogal

Zu berechnen ist das Volumen des Zylinders im Verhältnis zum Würfelvolumen.

Hier eine bewegbare GeoGebra-Ansicht: https://ggbm.at/dwGw7E38

  1. Moinsen!

    Das dürfte 2/3 Pi sein. Rechenweg folgt gerne…

    Alles klar? Norbert

    1. Hallo Norbert,

      glaube nicht. Mein Ergebnis ist ein Wurzeldrei-tel von Deinem.

      Rolf

      --
      sumpsi - posui - clusi
    2. Hallo Norbert,

      Das dürfte 2/3 Pi sein.

      Nö.

      Alles klar?

      Nö.

      =:-0

      Edit: Das wäre mehr als das doppelte Würfelvolumen - den Eindruck macht das Bild nicht...

    3. Moin, moin!

      Wo liegt denn der Denkfehler in meinem mittlerweile eingerosteten Gehirn? Hier meine Gedankengänge:

      Da ein Verhältnis gesucht wird, kann man Einheiten ignorieren und mit der Würfel-Kantenlänge a = 1 rechnen. Das Volumen des Würfels V(Würfel) = a^3 ist dann ebenfalls 1.

      Ich betrachte das Dreieck EDB. Seine Seiten sind Flächendiagonalen des Würfels und haben die Länge d = a * 2^(1/2) = 2^(1/2). Das Dreieck ist gleichseitig, der Umkreisradius ist also r = d / 3 * 3^(1/2) = 2^(1/2) / 3 * 3^(1/2). Das ist der Radius des Zylinders.

      Die Höhe des Zylinders ist gleich der Kantenlänge des Würfels a = 1, in der Zeichnung z. B. die Strecke zwischen den Punkten E und H. Daraus ergibt sich das Volumen des Zylinders V(Zylinder) = Pi * r^2 * 1 = Pi * 2/3.

      Das Verhältis von V(Würfel) = 1 zu V(Zylinder) ist demnach auch Pi * 2/3.

      Ich bitte um sachdienliche Hinweise.

      Viele Grüße, Norbert

      1. Hallo,

        Ich bitte um sachdienliche Hinweise.

        Das andre hab ich noch nicht durchdacht, aber du solltest das mit der Höhe nochmal durchdenken…

        Gruß
        Kalk

      2. Die Höhe des Zylinders ist gleich der Kantenlänge des Würfels a = 1, in der Zeichnung z. B. die Strecke zwischen den Punkten E und H.

        Dies ist (sehr) falsch. Wenn du die Ansicht geeignet drehst, siehst du, dass die Strecke [EH] alles andere als senkrecht zu den Kreisflächen steht.

        1. Danke, das erklärt es.

          Norbert

  2. Richtige Lösungen kamen von @Rolf B und @Gunnar Bittersmann.

    Der Radius der Zylinder-Grundfläche ist der Umkreisradius des gleichseitigen Dreiecks mit der Flächendiagonalen des Würfels als Seitenlänge. Da der Umkreismittelpunkt auch der Schwerpunkt ist, beträgt der Radius $$ \frac{2}{3} $$ der Dreieckshöhe. Nimmt man (o.B.d.A) die Kantenlänge des Würfels als 1, ergibt sich der Radius $$ r = \frac{1}{3} \sqrt 6 $$.

    Die Mittelpunkte von Grundkreis und Deckkreis des Zylinders teilen die Raumdiagonale in drei gleichlange Teile. Dies kann auf verschiedenen Wegen eingesehen werden, z.B. durch Betrachtung des Rechtecks $$ ACGE $$ - Stichworte Strahlensätze oder Ähnlichkeit von Dreiecken oder Pythagoras oder Kathetensatz:

    DIN-Rechteck

    (Da dieses Rechteck das Seitenverhältnis $$ 1 : \sqrt 2 $$ hat, sieht man nebenbei, wie sich die Diagonale eines DIN-A4-Blatts durch Falten in drei gleiche Teile teilen lässt...)

    Jedenfalls ergibt sich die Zylinderhöhe $$ h = \frac{1}{3} \sqrt 3 $$ und damit das Zylindervolumen $$ \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{2}{9} \sqrt 3 $$, das ist fast gleich 1,2092 - also 120,92% des Würfelvolumens 1.

    1. @@ottogal

      Der Radius der Zylinder-Grundfläche ist der Umkreisradius des gleichseitigen Dreiecks mit der Flächendiagonalen des Würfels als Seitenlänge. Da der Umkreismittelpunkt auch der Schwerpunkt ist, beträgt der Radius $$ \frac{2}{3} $$ der Dreieckshöhe.

      Das könnte etwas mehr Erklärung vertragen, denke ich.

      Ich bin da so drauf gekommen:

      Kantenlänge des Würfels sei 1; M₁ und M₂ seien die Kreismittelpunkte der Grund- und Deckfläche des Zylinders.

      Ich schaue senkrecht auf die Ebene ABGH (in der auch M₁ und M₂ liegen):

      Aufgemalt:

      Wie wir wissen ist AM₁ = MM₂ = MG = ⅓√3.

      Pythogoras in AMB: r² = 1 − ⅓ = ⅔

      Volumen des Zylinders: V = πr²h = π × ⅔ × ⅓√3 = ²⁄₉π√3, was so ziemlich genau 1,2092 ist.

      LLAP 🖖

      --
      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
      1. Der Radius der Zylinder-Grundfläche ist der Umkreisradius des gleichseitigen Dreiecks mit der Flächendiagonalen des Würfels als Seitenlänge. Da der Umkreismittelpunkt auch der Schwerpunkt ist, beträgt der Radius $$ \frac{2}{3} $$ der Dreieckshöhe.

        Das könnte etwas mehr Erklärung vertragen, denke ich.

        Okay, meinen Beweis fing ich so an:

        <zitat>

        O.b.d.A. sei die Kantenlänge des Würfels $$ 1 $$. Seine Flächendiagonalen sind also $$ \sqrt{2} $$, seine Raumdiagonalen $$ \sqrt{3} $$ und sein Volumen $$ 1 $$.

        Bei den Kreisen handelt es sich jeweils um den Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks mit der Flächendiagonalen des Würfels als Seite. Die Höhe des Dreiecks ist somit $$ \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{6} $$.

        Da der Umkreismittelpunkt auch der Schwerpunkt des Dreiecks ist und dieser die Höhe im Verhältnis 1:2 teilt, beträgt der Umkreisradius 2/3 der Höhe, also $$ \frac{1}{3} \sqrt{6} $$.

        </zitat>

        Hier habe ich die Kenntnis, dass die Schwerlinien im Dreieck sich im Verhältnis 1:2 teilen, vorausgesetzt. Lässt sich aber auch schnell einsehen (Strahlensätze):

        Schwerpunkt

        In unserm Fall siehts dann so aus:

        gleichseitigesDr

      2. @@Gunnar Bittersmann

        Pythogoras in AMB: r² = 1 − ⅓ = ⅔

        Der Trick hier ist, nicht r auszurechnen – brauchen wir nicht:

        Volumen des Zylinders: V = πr²h

        Da steckt wieder r² drin. Es wäre unsinning, die Wurzel zu ziehen, um hinterher wieder zu quadrieren.

        LLAP 🖖

        --
        “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
        1. +1

          (Hier müssen mindestens 10 Zeichen geschrieben werden. Dürfte also jetzt klappen...)

          (Warum eigentlich?)