D.h., für www.example.com und example.com darf es keinen unterschiedlichen Code geben und schon ist das Problem gelöst. Das wäre mein Tipp.
Nein, selbst wenn beide Server sich den selben Code teilen, selbst wenn hinter den Domains der selbe Webserver steckt, werden dadurch nicht die Cookies der einen Domain auch an die andere Domain weiter gegeben.