Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Heute gibt’s mal nichts zu rechnen, sondern was zu malen:

Aber nein, nicht die Flächen ausmalen, sondern:

Konstruiere ein Quadrat der Fläche 3 in diesem 3×3-Raster von Einheitsquadraten!

LLAP 🖖

[Felix Riesterer]

Lieber Gunnar,

Konstruiere ein Quadrat der Fläche 3 in diesem 3×3-Raster von Einheitsquadraten!

darf man auch mit dem Strahlensatz das Quadrat skalieren?

Liebe Grüße,

Felix Riesterer.

[Gunnar Bittersmann]

@@Felix Riesterer

darf man auch mit dem Strahlensatz das Quadrat skalieren?

Du darfst alles machen, was du mit Zirkel und Lineal hinbekommst. Na gut: und Stift.

Mit „Lineal“ ist nicht die Skala gemeint; du darfst nichts ausmessen. Winkelmesser ist natürlich auch tabu.

LLAP 🖖

[Felix Riesterer]

Lieber Gunnar,

Du darfst alles machen, was du mit Zirkel und Lineal hinbekommst. Na gut: und Stift.

dann malt man zwei parallele Geraden: Die Gerade g halbiert einmal das große Quadrat diagonal, die diagonale k halbiert das linke untere Quadrat. Damit hat man zwei Strecken im Verhältnis 1:3 und kann das große Quadrat damit skalieren. Ohne Messungen.

Liebe Grüße,

Felix Riesterer.

[Gunnar Bittersmann]

@@Felix Riesterer

Damit hat man zwei Strecken im Verhältnis 1:3 und kann das große Quadrat damit skalieren.

Verstehe ich nicht. Du willst das große Quadrat um den Faktor ⅓ skalieren? Das gibt’s doch schon, sogar neunmal.

LLAP 🖖

[Felix Riesterer]

Lieber Gunnar,

Damit hat man zwei Strecken im Verhältnis 1:3 und kann das große Quadrat damit skalieren.

naja, man kann auch im Verhältnis 3:1 skalieren. Kommt darauf an, auf welcher Seite man die Punkte setzt.

Liebe Grüße,

Felix Riesterer.

[ottogal]

Damit skalierst du aber linear 1:3, d.h. die Flächeninhalte wie 1:9 - klar, das linke untere Teilquadrat hat 1/9 der Fläche des ganzen Quadrats. M. a. W.: Ganz so einfach isses nicht...

[MudGuard]

Hi,

dann malt man zwei parallele Geraden: Die Gerade g halbiert einmal das große Quadrat diagonal, die diagonale k halbiert das linke untere Quadrat. Damit hat man zwei Strecken im Verhältnis 1:3 und kann das große Quadrat damit skalieren. Ohne Messungen.

Damit kannst du die Seitenlängen mit 3 skalieren. Aufgabe ist es aber, die Quadrat-Fläche 3 zu erreichen. Also Seitenlänge Wurzel aus 3.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Felix Riesterer]

Lieber MudGuard,

Also Seitenlänge Wurzel aus 3.

ist nicht die Raumdiagonale eines Quadrats dieser Länge? Kann man das nutzen, um aus den notwendigen Dreiecken diese Länge zeichnerisch zu konstruieren?

Ach nee, muss die dritte Wurzel sein, nicht die Quadratwurzel aus 2. Nevermind.

Liebe Grüße,

Felix Riesterer.

[Gunnar Bittersmann]

@@Felix Riesterer

ist nicht die Raumdiagonale eines Quadrats dieser Länge?

Aber, aber! Beim Quadrat bleiben wir mal hübsch auf dem Teppich und schweifen nicht durch den Raum.

Ach nee, muss die dritte Wurzel sein, nicht die Quadratwurzel aus 2. Nevermind.

Nee, die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge 1 in 2D ist schon Quadratwurzel aus 2.

Die Raumdiagonale eines Hyperquadrats der Seitenlänge 1 in 3D ist auch nicht dritte Wurzel aus 2, sondern Quadratwurzel aus 3.

LLAP 🖖

PS: Ein Hyperquadrat in 3D wird gemeinhin Würfel genannt. 🎲

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

ist nicht die Raumdiagonale eines Quadrats dieser Länge?

Aber, aber! Beim Quadrat bleiben wir mal hübsch auf dem Teppich und schweifen nicht durch den Raum.

Womit ein ebener Teppich gemeint ist. Und kein fliegender. Wir sind hier nicht im Märchen.

LLAP 🖖

[Felix Riesterer]

Lieber Gunnar,

Die Raumdiagonale eines Hyperquadrats der Seitenlänge 1 in 3D ist auch nicht dritte Wurzel aus 2, sondern Quadratwurzel aus 3.

aha! Da ist sie ja, die Quadratwurzel aus 3!

PS: Ein Hyperquadrat in 3D wird gemeinhin Würfel genannt. 🎲

Ähm, ja, meinte ich doch!

Liebe Grüße,

Felix Riesterer.

[JürgenB]

Hallo,

PS: Ein Hyperquadrat in 3D wird gemeinhin Würfel genannt. 🎲

wobei sich im Umfeld einer Entscheidungsfindung „hyperquadrieren“ deutlich wichtiger anhört, als „würfeln“.

Gruß
Jürgen

[Gunnar Bittersmann]

@@JürgenB

PS: Ein Hyperquadrat in 3D wird gemeinhin Würfel genannt. 🎲

wobei sich im Umfeld einer Entscheidungsfindung „hyperquadrieren“ deutlich wichtiger anhört, als „würfeln“.

Gott hyperquadriert nicht.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

im Umfeld einer Entscheidungsfindung „hyperquadrieren“

ich glaub das wervechselt du mit „hyperventilieren“

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo JürgenB,

wobei sich im Umfeld einer Entscheidungsfindung „hyperquadrieren“ deutlich wichtiger anhört, als „würfeln“.

„hyperquadriereln“

Bis demnächst
Matthias

[Felix Riesterer]

Lieber Gunnar,

der Satz des Pythagoras sollte helfen:

a² + b² = c²

Setzen wir nun ein: a = 1, b = √2, c = √3:

1 + 2 = 3 (q.e.d ;-P)

Wie finden wir nun ein rechtwinkliges Dreieck mit diesen Seitenlängen? Nun, jedes "kleine" Quadrat hat als Diagonale √2, und eine Seitenlänge von 1. Man benötigt nun um eine Ecke einen Kreis, dessen Durchmesser eben die Seitenlänge ist. Bildet man noch eine Senkrechte auf die Diagonale, so dass sie durch die umkreiste Ecke geht, dann kann man den Schnittpunkt dieser Senkrechte mit dem Kreis als Endpunkt der gedrehten Seite des Quadrats sehen. Dann diesen Schnittpunkt mit dem Ausgangspunkt der Diagonale verbinden, und man hat die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit der Länge c. Daraus ein Quadrat zu konstruieren sollte nun gut gelingen.

Wären meine SVG-Künste schon etwas weiter, könnte ich Dir eine Konstruktion damit zeigen. Aber zum Glück hat mir @Rolf B mit seinem GeoGebra ein Tool gezeigt, mit dem ich Dir das konstruiert habe:

Liebe Grüße,

Felix Riesterer.

[Gunnar Bittersmann]

@@Felix Riesterer

Ja, das sieht brauchbar aus. Muss man nur nich ein Quadrat mit dieser Seitenlänge konstruieren. Kein Problem.

Dann stellen wir die Aufgabe mal so: Gesucht ist die Konstruktion mit möglichst wenigen Strichen und Zirkelschlägen.

LLAP 🖖

[Felix Riesterer]

Lieber Gunnar,

Ja, das sieht brauchbar aus.

also habe ich das wesentliche Element des Problems geknackt.

Dann stellen wir die Aufgabe mal so:

Nö, jetzt mag ich nimmer.

Liebe Grüße,

Felix Riesterer.

[MudGuard]

Hi,

Dann stellen wir die Aufgabe mal so: Gesucht ist die Konstruktion mit möglichst wenigen Strichen und Zirkelschlägen.

Wenn die Länge bestimmt ist, mit diesem Radius die beiden Punkte am unteren und linken Rand des ursprünglichen Quadrats markieren. Damit sind 3 Eckpunkte des Quadrats bekannt (linke untere Ecke des ursprünglichen Quadrats + die zwei eben markierten Punkte).

Dann nochmal um die beiden eben markierten Punkte einen Kreisabschnitt (in der geschätzten Nähe des Schnittpunkts der beiden Kreisabschnitte). Der Schnittpunkt der beiden Kreisabschnitte ist dann der 4. Punkt des Quadrats.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Matthias Apsel]

Hallo Felix Riesterer,

deine Lösung sieht brauchbar aus, sagt Gunnar. Weniger schön ist, dass du hier schon Lösungsansätze verrätst und damit anderen den Spaß am Grübeln nimmst.

Bis demnächst
Matthias

[beatovich]

hallo

deine Lösung sieht brauchbar aus, sagt Gunnar. Weniger schön ist, dass du hier schon Lösungsansätze verrätst und damit anderen den Spaß am Grübeln nimmst.

Dann verzichte doch auf den Zirkel und überleg dir eine andere Lösung.

[Gunnar Bittersmann]

@@beatovich

Dann verzichte doch auf den Zirkel und überleg dir eine andere Lösung.

Nach einigen Überlegungen würd ich jetzt keck behaupten: nur mit Lineal geht’s nicht.

LLAP 🖖

[beatovich]

hallo

@@beatovich

Dann verzichte doch auf den Zirkel und überleg dir eine andere Lösung.

Nach einigen Überlegungen würd ich jetzt keck behaupten: nur mit Lineal geht’s nicht.

Rechter Winkel plus Lineal oder Vorlage ausschneiden und Lösung falten.

[Gunnar Bittersmann]

@@beatovich

Dann verzichte doch auf den Zirkel und überleg dir eine andere Lösung.

Nach einigen Überlegungen würd ich jetzt keck behaupten: nur mit Lineal geht’s nicht.

Rechter Winkel plus Lineal oder Vorlage ausschneiden und Lösung falten.

Netter Versuch, aber Schere gehört nicht zu den erlaubten Konstruktionswerkzeugen.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo,

NUR mit Lineal nicht, aber per Origami.

• X-Achse per Lineal (oder Faltung)
• Y-Achse per Origami senkrecht dazu konstruiert
• Skalenteilung mittels beliebigem Einheitengeber aufgetragen (hier: Radiergummi)
• Hilfsfaltungen für Vertikalen bei x=1 und x=3 (um P(1,0) und P(3,0) besser erkennen zu können
• Faltung A durch P(1,0) so, dass P(3,0) auf der y-Achse zu liegen kommt, Faltung am Berührpunkt (die ist erstmal schräg gewesen)
• Faltung B senkrecht zur y-Achse durch den Berührpunkt
• Diagonale y=x falten
• Faltung senkrecht zur x-Achse durch den Schnittpunkt zwischen Diagonale und Faltung B.

Fettich 😂

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

• Y-Achse per Origami senkrecht dazu konstruiert

Zur Konstruktion der Seknrechten brauchst du einen Zirkel. Bei Origami gehst du davon aus, dass das Papierformat ein Rechteck ist. Foul!

Aber das 3×3-Grid war ja schon vorgegeben.

• Skalenteilung mittels beliebigem Einheitengeber aufgetragen (hier: Radiergummi)

Boah! Was hier alles als Zirkelersatz herhalten muss! Foul!

Aber das 3×3-Grid war ja schon vorgegeben.

• Faltung
• Faltung
• falten
• Faltung

Das nächste Mal schreibe ich dazu, dass die Konstruktion in Stein gemeißelt werden soll!

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Das nächste Mal schreibe ich dazu, dass die Konstruktion in Stein gemeißelt werden soll!

Alsob dann keine Faltung mehr möglich wäre…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Das nächste Mal schreibe ich dazu, dass die Konstruktion in Stein gemeißelt werden soll!

Alsob dann keine Faltung mehr möglich wäre…

Wo rohe Kräfte sinnlos walten …

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Wo rohe Kräfte sinnlos walten …

Das Falten ist aber nicht sinnlos. Es schaft Platz…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Wo rohe Kräfte sinnlos walten …

Das Falten ist aber nicht sinnlos. Es schaft Platz…

Das kannst du denen erzählen, die beim Erdbeben Haus und Hof verloren haben. Oder Angehörige.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Das kannst du denen erzählen, die beim Erdbeben Haus und Hof verloren haben. Oder Angehörige.

Was interessiert einen Kontinent Haus und Hof?

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Zur Konstruktion der Seknrechten brauchst du einen Zirkel. Bei Origami gehst du davon aus, dass das Papierformat ein Rechteck ist. Foul!

Nein. Wenn man die "Enden" zusammenlegt, entsteht eine senkrechte Faltung.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Bei Origami gehst du davon aus, dass das Papierformat ein Rechteck ist. Foul!

„Ihr denkt wohl, ich bin blöd. Bin ich aber nicht!“

Ich falte einmal längs, und dann quer. Beim querfalten lege ich Längsfalz auf Längsfalz. Das Papierformat kann dabei gerne ein Kreis sein oder eine von der Wand gerissene Tapetenecke, die beiden Falten stehen dann senkrecht aufeinander.

Und die 3 Längeneinheiten könnte ich auch durch Zickzackfalten erreichen, der Ratzefummel war nur eine Zeitersparnis.

Rolf

[Felix Riesterer]

Lieber Matthias,

Weniger schön ist, dass du hier schon Lösungsansätze verrätst und damit anderen den Spaß am Grübeln nimmst.

alter Meckerfritze! Als interessierter Laie, der ich mich auch mal an so einem Mathe-zum-Wochenende-Thread beteilige, will ich natürlich diskutieren. Ich war mir nicht 100%ig sicher, ob mein Lösungsweg überhaupt in die richtige Richtung geht. Und wer nicht will, klickt eben nicht auf den Link (keine Ahnung, warum das Bild nicht direkt angezeigt wird)!

Liebe Grüße,

Felix Riesterer.

[Gunnar Bittersmann]

@@Felix Riesterer

Und wer nicht will, klickt eben nicht auf den Link

Naja, der entscheidende Gedanke war schon 1² + (√2)² = (√3)²; nicht, wo das in der Figur zu finden ist.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo,

$$\sqrt3^2+1^2=2^2$$

Nur so ein Gedanke...

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Felix Riesterer,

alter Meckerfritze! Als interessierter Laie, der ich mich auch mal an so einem Mathe-zum-Wochenende-Thread beteilige, will ich natürlich diskutieren.

Geduld ist der Schatz, den du jetzt brauchst.

Ich war mir nicht 100%ig sicher, ob mein Lösungsweg überhaupt in die richtige Richtung geht.

Du kannst doch zunächst mit Gunnar per PM diskutieren.

Bis demnächst
Matthias

[encoder]

Du kannst doch zunächst mit Gunnar per PM diskutieren.

Oder die öffentliche Diskussion erst später beginnen, damit jeder etwas Zeit hat um selbst nachzudenken.

Ich vermute wenn die Lösung sofort öffentlich diskutiert wird nimmt das Interesse ab, dem Fragenden eine Lösung zuzuschicken. Wozu auch, wenn man vielleicht ja nur abgeschrieben hat.
Damit könnte dann das Interesse abnehmen, eine neue Frage einzustellen. Wozu auch, wenn es ja eh keinen interessiert.
Wäre schade.

Nachtrag. Ich gebe zu wenn öffentlich diskutiert wird, scheint ja wohl Interesse zu bestehen :-)
Trotzdem fände ich eine gewisse Ruhefrist schon sinnvoll, bevor eine Lösung diskutiert wird.

[Rolf B]

Ich habe Gunnar mal eine Lösung mit zwei im Raster ablesbaren Hilfspunkten und 4 Kreisen geschickt. Mehr ist nicht nötig.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Ich habe Gunnar mal eine Lösung mit zwei im Raster ablesbaren Hilfspunkten und 4 Kreisen geschickt. Mehr ist nicht nötig.

Ich habe mir eure Lösungen noch nicht angesehen. Ich will selber noch ein bisschen knobeln, wie es am einfachsten geht.

Ich bin bei zwei Kreisen und zwei Linien angekommen.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

ok, das kann ich aus meiner Lösung auch ableiten.

Wie ist denn eigentlich die Preisliste? Insbesondere: Sind Linien und Kreise gleich teuer?

• Nutzen eines der vorhandenen Rasterschnittpunkte: kostenlos
• Markieren eines neuen Punktes als Schnitt zweier Objekte (Gerade/Kreis) - z.B. $1
• Zeichnen einer Gerade durch 2 Punkte - z.B. $3
• Zeichnen eines Kreises um Punkt A mit Radius AB - z.B. $3
• Zeichnen eines Kreises um Punkt C mit Radius AB - z.B. $4
• Markieren des gesuchten Quadrates basierend auf 4 Schnittpunkten, die mit Linien verbunden sind - unbezahlbar kostenlos

Wäre das angemessen? Bitte zähle NICHT die Self-Dollars deiner Lösung, bevor Du dazu eine Meinung bildest 😂

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Wie ist denn eigentlich die Preisliste? Insbesondere: Sind Linien und Kreise gleich teuer?

Gute Frage.

Gerade und Kreis sind beides primitive Figuren.
Gerade^[1] fällt mir kein Grund ein, warum eine teurer sein sollte als die andere.

• Nutzen eines der vorhandenen Rasterschnittpunkte: kostenlos

Was da ist, ist da. Und kann verwendet werden. Cleverness sollte nicht bestraft werden.

• Markieren eines neuen Punktes als Schnitt zweier Objekte (Gerade/Kreis) - z.B. $1

Namen sind Schall und Rauch. Die braucht man nicht zur Konstruktion, höchstens zur Konstruktionsbeschreibung. Sollte nichts kosten.

• Zeichnen einer Gerade durch 2 Punkte - z.B. $3
• Zeichnen eines Kreises um Punkt A mit Radius AB - z.B. $3
• Zeichnen eines Kreises um Punkt C mit Radius AB - z.B. $4

Ich habe mich erst gewundert, warum ein Kreis teurer sein sollte als ein anderer. Aber OK, den Radius von irgendwo zu importieren kostet was.

• Markieren des gesuchten Quadrates basierend auf 4 Schnittpunkten, die mit Linien verbunden sind - unbezahlbar kostenlos

Das ist die große Frage: ob man mit der Konstruktion der Eckpunkte schon die Aufgabe gelöst hat oder ob man diese noch verbinden muss, also noch bis zu vier Linien zeichnen muss. Hab ich keine Antwort drauf.

LLAP 🖖

---

1. no pun intended ↩︎

[ottogal]

• Markieren des gesuchten Quadrates basierend auf 4 Schnittpunkten, die mit Linien verbunden sind - unbezahlbar kostenlos

Das ist die große Frage: ob man mit der Konstruktion der Eckpunkte schon die Aufgabe gelöst hat oder ob man diese noch verbinden muss, also noch bis zu vier Linien zeichnen muss. Hab ich keine Antwort drauf.

Ich denke, das ermitteln der Eckpunkte sollte als Lösung reichen.

Das ist so Usus: Z.B. gilt es als Lösung der Aufgabe, ein reguläres Fünfeck in einen Kreis einzubeschreiben, zwei Punkte mit dem Abstand der gesuchten Seitenlänge zu konstruieren. (Man erinnere sich an Gauß' reguläres 17-Eck: die 17 Seiten zu zeichnen, war nicht gefragt.)

Unter der Voraussetzung komme ich mit 4 Zirkelschlägen aus...

[Rolf B]

Hallo Gunnar und ottogal,

ich hatte ganz bewusst geschrieben:

basierend auf 4 Schnittpunkten, die mit Linien verbunden sind

D.h. 4 Punkte markieren reicht nicht, die Kontur des Quadrats muss da sein. Wenn ich mit 4 Zirkelschlägen - meine erste Lösung - die nötigen Punkte habe, fehlen mir immer noch 2 Linien. Gunnars Methode bringt die schon mit. Deswegen finde ich seine 2 Kreise + 2 Linien Variante besser.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

• Markieren des gesuchten Quadrates basierend auf 4 Schnittpunkten, die mit Linien verbunden sind - unbezahlbar kostenlos

Das ist die große Frage: ob man mit der Konstruktion der Eckpunkte schon die Aufgabe gelöst hat oder ob man diese noch verbinden muss, also noch bis zu vier Linien zeichnen muss. Hab ich keine Antwort drauf.

Ich denke, das ermitteln der Eckpunkte sollte als Lösung reichen.

Ja, aus mathematischer Sicht braucht man die Linien nicht. Ein Quadrat ist durch seine Eckpunkte hinreichend definiert.

Menschen brauchen die Grenzlinien. (Liegt wohl in der Natur des Menschen, sein Gebiet abzustecken (in einem fernen Land; und sei es mittels Handtuch am Strand oder übern Liegestuhl.) Sie sollten also ebensoviel kosten wie die Bezeichnungen von Punkten: nichts.

Dann machen wir mal Kassensturz.

LLAP 🖖

[ottogal]

(Man erinnere sich an Gauß' reguläres 17-Eck: die 17 Seiten zu zeichnen, war nicht gefragt.)

Nur fürs Archiv (😉) sei hier ergänzt, dass es Gauß auch nicht darum ging, eine Seite des regulären 17-Ecks zu konstruieren; sein Thema war, die Konstruierbarkeit (mit Zirkel und Lineal) algebraisch nachzuweisen.

Ich habe einen sehr informativen Artikel dazu gefunden:
Zahlen, bitte! Die 17 Ecken des Carl Friedrich Gauß

Darin eine bemerkenswerte Gleichung, die diejenigen unter uns, die Wurzeln nur mit spitzen Fingern anfassen, erschauern lassen wird:

https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b58b916934efb.png

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Heute gibt’s mal nichts zu rechnen, sondern was zu malen:

Damit wir wissen, worüber wir sprechen, male ich erstmal ein Koordinatensystem:

O(0,0) (O wie obviously), X₁(1, 0), Y₁(0, 1)

Konstruiere ein Quadrat der Fläche 3 in diesem 3×3-Raster von Einheitsquadraten!

Also ein Quadrat der Seitenlänge √3. Welche sich als Kathete im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse 2 und andere Kathete 1 konstruieren lässt; Rolf wies darauf hin. Oder anders gesagt: √3 ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 2.

#Variante 1

So hatten sich das wohl die meisten gedacht:

1. Kreisbogen um Y₁ mit Radius 2 schneidet x-Achse in P
2. Kreisbogen um X₁ mit Radius 2 schneidet y-Achse in R
   alternativ: Kreisbogen um O mit Radius OP schneidet y-Achse in R
3. Kreisbogen um P mit Radius OP (Stück oberhalb von P)
4. Kreisbogen um R mit demselben Radius OP (Stück rechts von R)
   Schnittpunkt mit (3) ist Q
   OPQR ist das gesuchte Quadrat.

Kosten: 12$ (wenn das Verbinden der Eckpunkte nicht Teil der Aufgabe ist)

#Variante 2

1. Kreisbogen um Y₁ mit Radius 2 schneidet x-Achse in P und Gerade y = 2 in P₂
2. Kreisbogen um X₁ mit Radius 2 schneidet y-Achse in R und Gerade x = 2 in R₂
3. Schnittpunkt der Geraden PP₂ und RR₂ ist Q
   OPQR ist das gesuchte Quadrat.

Kosten: ebenfalls 12$ (hier sind die Quadratseiten schon mit eingezeichnet)

#Variante 3

1. Kreisbogen um O mit Radius 2 schneidet Gerade y = 1 in P₁ und Gerade x = 1 in R₁
2. Kreisbogen um O mit Radius X₁R₁ schneidet x-Achse in P und y-Achse in R
3. Schnittpunkt der Geraden PP₁ und RR₁ ist Q
   OPQR ist das gesuchte Quadrat.

Kosten: 13$ (aber auch hier sind die Quadratseiten schon mit drin)

#Variante 4

@encoder hat noch einen ganz anderen Weg gefunden:

1. Konstruktion der √3 mit 2 Kreisen.
2. Abtragen der √3 auf dem Schenkel der kurzen Kathete.
3. 4. Eckpunkt des Quadrats wie in Variante 1

Kosten: 5 Kreise, 1 Linie (die andere Linie braucht man nicht), 18$. Teuer, aber originell.

#Variante 5

Der Grund, warum ich die von Felix in Spiel gebrachte Beziehung 1² + (√2)² = (√3)² einen „entscheidenden Gedanken“ nannte. √3 lässt sich auch konstruieren als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten 1 und √2.

Oder ’ne Nummer kleiner: √³⁄₂ = ½√6 lässt sich konstruieren als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten 1 und ½√2:

1. Zeichne die Diagonalen y = x und y = −x + 3, ihr Schnittpunkt ist M
2. Kreisbogen um A(1, 1) mit Radius AM schneidet Gerade y = 1 in B
3. C(1, 2). [Edit: C brauchen wir nicht] Kreisbogen um M mit Radius BC BX₁
   Schnittpunkte mit den Diagonalen sind die Eckpunkte des gesuchten Quadrats.

Kosten: 13$ (ohne Verbinden der Eckpunkte). Symmetrie hat halt ihren Preis.

LLAP 🖖