Mathematik zur Wochenmitte

[Gunnar Bittersmann]

Eine knifflige Frage:

f(2⁵) = 6² − 2²
f(2⁶) = 10² − 2⁰

Welche Funktion f ist gesucht?

LLAP 🖖

[beatovich]

hallo

Eine knifflige Frage:

f(2⁵) = 6² − 2²
f(2⁶) = 10² − 2⁰

Welche Funktion f ist gesucht?

? Meinst du eventuell

f(2⁶) = 10² − 6²

[Gunnar Bittersmann]

@@beatovich

? Meinst du eventuell

f(2⁶) = 10² − 6²

Nein.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@beatovich

Eine knifflige Frage:

f(2⁵) = 6² − 2²
f(2⁶) = 10² − 2⁰

Welche Funktion f ist gesucht?

? Meinst du eventuell

f(2⁶) = 10² − 6²

Du hattest wohl f(x) = x im Sinn? Das ist zum Teil sogar richtig; zum anderen Teil aber falsch.

Ganz so einfach ist es nicht; etwas kniffliger ist die Frage schon.

LLAP 🖖

[beatovich]

hallo

@@beatovich

Eine knifflige Frage:

f(2⁵) = 6² − 2²
f(2⁶) = 10² − 2⁰

Welche Funktion f ist gesucht?

? Meinst du eventuell

f(2⁶) = 10² − 6²

Du hattest wohl f(x) = x im Sinn? Das ist zum Teil sogar richtig; zum anderen Teil aber falsch.

Erst mal halte ich dich für menschlich. korrigiere mich, falls ich irre. Ich habe mir noch nicht zu viele Gedanken gemacht. Aber nehmen wir mal an, die korrigierte Fassung wäre der Fall, so hiesse die Frage:

Welche Funktion ist in der Lage, eine Zweierpotenz als Differenz zweier Quadrat-Zahlen darzustellen? Das ist doch mehr als f(x) = x

[Gunnar Bittersmann]

@@beatovich

Erst mal halte ich dich für menschlich. korrigiere mich, falls ich irre.

Vielleicht bin ich auch ein Q? Aber auch der Q kann ja menschlich sein. 😉

… so hiesse die Frage: Welche Funktion ist in der Lage, eine Zweierpotenz als Differenz zweier Quadrat-Zahlen darzustellen?

[mit Qs Stimme] Aber nein! Nein, nein, nein und nein. 😆

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

… so hiesse die Frage: Welche Funktion ist in der Lage, eine Zweierpotenz als Differenz zweier Quadrat-Zahlen darzustellen?

[mit Qs Stimme] Aber nein! Nein, nein, nein und nein. 😆

Um mal eins von den vielen neins zu übersetzen: das wäre keine Funktion.

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

Kurt Gödel würde dir widersprechen

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Welche Funktion f ist gesucht?

Dass es unendlich viele Funktionen gibt, deren Graphen durch die beiden Punkte verlaufen, weißt du?

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Welche Funktion f ist gesucht?

Dass es unendlich viele Funktionen gibt, deren Graphen durch die beiden Punkte verlaufen, weißt du?

Ja. Deshalb ja die Frage: Welche Funktion f ist gesucht? Und nicht: Welche Funktionen sind gesucht. 😉

LLAP 🖖

[pl]

@Gunnar Bittersmann

die Funktionen haben mit Schwingungen zu tun 😉

MfG

PS: Was hast Du mit der Funktechnik zu schaffen? Nenne mir eine historische (Funktechnik)Firma, die in Berlin/Tempelhof ihren Sitz hatte. Falls meine Antwort richtig ist, wäre das die nächste Frage. Tipp: Diese Firma hatte 1930 ihr 50. Jubiläum.

[ottogal]

... eine historische (Funktechnik)Firma, die in Berlin/Tempelhof ihren Sitz hatte.

Aber erst seit 1917. Und da gehörte Tempelhof noch nicht zu Berlin...

[pl]

... eine historische (Funktechnik)Firma, die in Berlin/Tempelhof ihren Sitz hatte.

Aber erst seit 1917. Und da gehörte Tempelhof noch nicht zu Berlin...

Ja, die Lorenz AG 😉

(da verbinden mich fam. Gründe)

Was die Aufgabe betrifft, ich meinte es gänge um die Besselfunktionen.

MfG

[ottogal]

... eine historische (Funktechnik)Firma, die in Berlin/Tempelhof ihren Sitz hatte.

Aber erst seit 1917. Und da gehörte Tempelhof noch nicht zu Berlin...

Ja, die Lorenz AG 😉

Gegründet wurde sie in Kreuzberg - also doch eine Berliner Firma...

https://de.wikipedia.org/wiki/C._Lorenz

[pl]

Gegründet wurde sie in Kreuzberg - also doch eine Berliner Firma…

Ich hab ein dickes Buch, herausgegeben zum 50. Firmenjubiläum, da steht das alles drin. Es ist meinem Großvater gewidmet in besonderer Wertschätzung der Lorenz AG Berlin Tempelhof. Meine Liebe zur Funktechnik hab ich wohl von ihm 😉

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Eine knifflige Frage:

f(2⁵) = 6² − 2²
f(2⁶) = 10² − 2⁰

Welche Funktion f ist gesucht?

Noch sind die Würfel nicht gefallen – oder der sprichwörtliche Groschen. Vielleicht ja jetzt. Ein bisschen Ratezeit geb ich als Bonus noch obendrauf.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

zur Zeit überlege ich, was ein Exponent von 6 bedeutet. Der scheint mir zu groß für eine knifflige Aufgabe.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

zur Zeit überlege ich, was ein Exponent von 6 bedeutet.

Die 6 spielt schon eine Rolle, aber nicht als Exponent. 😂

Der scheint mir zu groß für eine knifflige Aufgabe.

Wirklich knifflig, nicht wahr?

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Ich hatte es doch mehrfach wiederholt:

Eine knifflige Frage:

Wirklich knifflig. WIRKLICH!

Und eine knifflige Frage erwartet eine knifflige Antwort. 🎲🎲🎲🎲🎲

f(2⁵) = 6² − 2²
f(2⁶) = 10² − 2⁰

Die Potenzen waren nur zur Verwirrung. 😜

f(32) = 32
f(64) = 99

Welche Funktion f ist gesucht?

Die Funktion „Summe oberer Teil“:

$$f(n) = \begin{cases} n &\ \text{für } n < 63
n + 35 &\ \text{für } n ≥ 63 \end{cases}$$

Und ich sag noch „Würfel“. Und ich sag noch „Bonus“. Wieviele Hinweise sollte ich denn noch geben? 🤣

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Welche Funktion f ist gesucht?

Die Funktion „Summe oberer Teil“:

$$f(n) = \begin{cases} n &\ \text{für } n < 63
n + 35 &\ \text{für } n ≥ 63 \end{cases}$$

Und ich sag noch „Würfel“. Und ich sag noch „Bonus“. Wieviele Hinweise sollte ich denn noch geben? 🤣

Jetz ists garnicht mehr knifflig! Das ist die weltbekannte Yahtzee-Funktion...

Gruß
Kalk

[ottogal]

Gunnars feines Gespür für begriffliche Genauigkeit hat ihn bewogen, im Betreff von Auflösung (nämlich eines Scherz-Rätsels) statt von Lösung (einer Mathematik-Aufgabe) zu sprechen. 😉

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Gunnars feines Gespür für begriffliche Genauigkeit hat ihn bewogen, im Betreff von Auflösung (nämlich eines Scherz-Rätsels) statt von Lösung (einer Mathematik-Aufgabe) zu sprechen. 😉

ottogals feines Gespür für begriffliche Genauigkeit hat ihn/sie erkoren, das auch zu erkennen. 😉

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Die 6 spielt schon eine Rolle, aber nicht als Exponent

Damit hast Du mich final auf die falsche Fährte geführt, ich hatte angefangen zu überlegen wie man diese "Potenzen" als Kombination von Würfelwert und Anzahl deuten könnte. Und das ging einfach nicht auf.

Rolf

[Bruno Thomann]

Ich denke, beispielsweise

sollte matchen.

Bruno Thomann

[ottogal]

Das wäre aber nicht die die Funktion $$f(x)$$, sondern $$g(x)$$=$$f(2^x)$$.

Edit:

Somit wäre $$f(x)=4(\log_2x-2^{6-\log_2x})^2-(7-\log_2x)^2$$.

Aber wie Matthias schon sagte: Das wäre nur eine von ziemlich vielen...

[Bruno Thomann]

… von unendlich vielen, in der Tat! Darum habe ich auch vermerkt "beispielsweise" … Dennoch: Was wäre - wiederum beispielsweise - eine andere …?

[Gunnar Bittersmann]

@@Bruno Thomann

… von unendlich vielen, in der Tat! … Was wäre - wiederum beispielsweise - eine andere …?

f(x) = mx + n – eine gerade Linie durch die Punkte A(32, 32) und B(64, 99). (m und n kannste dir selber ausrechnen.) Ein unendlich straff gespanntes Seil von A nach B.

Wenn wir nun etwas Seil geben, dann hängt es durch – entsprechend der Cosinus-hyperbolicus-Funktion (Kettenlinie). Je länger das Seil, desto mehr hängt’s durch. Damit hast du eine Schar von unendlich vielen Funktionen, die durch A und B gehen.

LLAP 🖖

[Bruno Thomann]

Nun ja, das Ganze kam ja als ein Rätsel daher und war (zumindest vor den späteren Hints) durchaus auch ein bisschen rätselhaft formuliert, was aber gerade das Reizvolle daran ausmacht, weil man sich die Aufgabe dann auch ein bisschen selbst (um)formulieren darf.

Z.B.so: Nicht die jeweiligen Summanden 36 und 4 bzw. 100 und 1 als Ablenkungsmanöver aufzufassen, sondern die beiden Zweierpotenzen, und sich darauf zu konzentrieren, nach einer Funktion in x zu suchen, die diese vier Summanden mit x=5 bzw. x=6 als Ergebnis entstehen lässt. Sinnvoll oder nicht, sei dahingestellt, aber alleweil vergnüglich und gut für alternden Hirnschmalz.

[Tabellenkalk]

Hallo,

Damit hast du eine Schar von unendlich vielen Funktionen, die durch A und B gehen.

Und wenn man dann noch den Trick von Gunnar mit der Fallunterscheidung beliebig anwendet, kann man sogar das unendlich als Exponent einsetzen…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Und wenn man dann noch den Trick von Gunnar mit der Fallunterscheidung beliebig anwendet

dann kann man auch die Ausreißer-Funktion anführen:

$$f(x) = \begin{cases} 99, &\text{wenn } x = 64
32, &\text{sonst} \end{cases}$$

LLAP 🖖

PS: Ausreißer und Seil sind nicht knifflig.

[ottogal]

… von unendlich vielen, in der Tat! Darum habe ich auch vermerkt "beispielsweise" … Dennoch: Was wäre - wiederum beispielsweise - eine andere …?

Z.B. diese Parabel: $$f(x)=\frac{67}{3072}x^2+\frac{29}{3}$$;

oder diese: $$f(x)=-\frac{67}{3072}x^2+\frac{67}{16}x-\frac{239}{3}$$;

oder ...

[ottogal]

Noch zwei nette Funktionen, die die Bedingung erfüllen:

$$f(x)=67\sin(\frac{\pi}{64}x-\frac{\pi}{2})+32$$

$$f(x)=\frac{67}{\ln(3)} \cdot \ln \left( \frac{1}{16}x-1 \right)+32$$ oder gleichwertig $$f(x)=67 \cdot \log_3 \left( \frac{1}{16}x-1 \right)+32$$

(Weil es aber ja unendlich viele gibt, hör ich jetzt doch lieber auf...)

[Matthias Apsel]

Hallo ottogal,

Z.B. diese Parabel: $$f(x)=\frac{67}{3072}x^2+\frac{29}{3}$$;

oder diese: $$f(x)=-\frac{67}{3072}x^2+\frac{67}{16}x-\frac{239}{3}$$;

Gibts auch quadratische Parabeln mit (nur) ganzzahligen Koeffizienten?

Bis demnächst
Matthias

[ottogal]

Gibts auch quadratische Parabeln mit (nur) ganzzahligen Koeffizienten?

Nein, gibt es nicht.

Ansatz: $$f(x)=ax^2+bx+c$$ mit ganzen Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$.

Zu erfüllen sind die Bedingungen $$f(32)=32$$ und $$f(64)=99$$, also

(1) $$1024a+32b+c=32$$

(2) $$4096a+64b+c=99$$

Um $$c$$ zu eliminieren subtrahieren wir (2)−(1) und erhalten $$3072a+32b=67$$,

also $$32 \cdot (96a+b)=67$$.

Für ganze Zahlen $$a$$ und $$b$$ wäre auch $$96a+b$$ eine ganze Zahl. Es gibt aber keine ganze Zahl $$z$$ mit $$32 \cdot z=67$$.

[Bruno Thomann]

Sehr schön!

Wenn wir gerade am Knobeln sind: Ich habe Gunnars Rätsel ja etwas anders aufgefasst bzw. abgewandelt.

Welche Funktion in x bildet als Ergebnisse die beiden von Gunnar angeführten Differenzen: 36-4 bzw. 100-1 nach, wenn in die zu suchende Funktion x=5 bzw. x=6 eingesetzt wird.

Meine Frage war, ob jemand ausser meiner Lösung noch eine andere findet; interessant wäre natürlich eine systematische.

[Matthias Apsel]

Hallo Bruno Thomann,

Welche Funktion in x bildet als Ergebnisse die beiden von Gunnar angeführten Differenzen: 36-4 bzw. 100-1 nach, wenn in die zu suchende Funktion x=5 bzw. x=6 eingesetzt wird.

f(x) = 67x - 303

Bis demnächst
Matthias

[Bruno Thomann]

Natürlich richtig, aber dennoch irgendwie lustig: Ich kann mich offensichtlich nicht richtig verständlich machen! Ich hatte nicht eine Funktion im Auge, die die Ergebnisse der beiden Differenzen sondern die Differenzen selbst nachbilden, also die jeweiligen beiden Summanden 36 und 4 bzw. 100 und 1...

[Gunnar Bittersmann]

@@Bruno Thomann

… die Differenzen selbst nachbilden, also die jeweiligen beiden Summanden 36 und 4 bzw. 100 und 1...

Ein paar Anregungen:

| x | 2x − 28 |---| | 32 | 36 | 64 | 100

| x | ⅛x | ⅛x + 2 | (⅛x + 2)² |---| | 32 | 4 | 6 | 36 | 64 | 8 | 10 | 100

| x | ld x | 2 ld x − 4 | (2 ld x − 4)² |---| | 32 | 5 | 6 | 36 | 64 | 6 | 10 | 100

---

| x | 64/x | (64/x)² |---| | 32 | 2 | 4 | 64 | 1 | 1

| x | ld x | 19 − 3 ld x |---| | 32 | 5 | 4 | 64 | 6 | 1

LLAP 🖖

[Bruno Thomann]

Danke! Die Version mit x=32 bzw. x=64 ist sicher richtig, jene mit ldx=6 nicht. Hier ist meine unelegante Lösung noch immer unangefochten …

[Gunnar Bittersmann]

@@Bruno Thomann

Danke! Die Version mit x=32 bzw. x=64 ist sicher richtig, jene mit ldx=6 nicht.

??

ld 32 = 5, ld 64 = 6. Was soll daran nicht richtig sein? (ld steht für log₂.)

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Was soll daran nicht richtig sein?

2 × 6 − 4 = 10? Das ist wohl nicht so ganz richtig. 😡

Dann eben so:

| x | ld x | 4 ld x − 14 | (4 ld x − 14)² |---| | 32 | 5 | 6 | 36 | 64 | 6 | 10 | 100

LLAP 🖖

[Bruno Thomann]

Schön! Und schöner als meine … Und damit schöner Wochenbeginn 🔨 !