Zugegeben, der Lastmodified Header ist an der Stelle unsinnig, aber man muss ihn ja nicht nutzen.
Nimm einen Client der nicht cached:
use LWP::Simple; print scalar localtime get "http://rolfrost.de/?time=1";
und schon funktioniert das wie gewünscht. MFG
PS: Wer das mit dem Browser ausprobieren möchte, schalte den Cache aus mit [shift]+[reload]. Es ist nur eine Demo.