Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Die blau (hell) schraffierte Fläche ist gleichgroß wie die lila (dunkel) schraffierte. Welcher Anteil der Trapezfläche ist schraffiert?

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Zusatzaufgabe:

Unter den Trapezen, die o. g. Forderung erfüllen, gibt es auch gleichschenklige.
Man widerlege oder beweise: Wenn für ein solches Trapez h = m gilt, schneiden sich die Diagonalen senkrecht. (In der Lesart mancher Mathematik-Hardcore-Systematiker ist es somit ein [allgemeines] Drachenviereck^[1])

Bis demnächst
Matthias

---

1. Nach allgemeinem Verständnis ist ein Drachenviereck symmetrisch, das heißt eine Diagonale halbiert die andere und die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Ein Viereck, welches nur eine dieser beiden Eigenschaften besitzt, wird häufig auch als Drachenviereck bezeichnet. ↩︎

[Tabellenkalk]

Hallo,

Wenn für ein solches Trapez h = m gilt,

wenn du wenigstens noch verraten würdest, was du unter m verstehst, könnte man ja mal versuchen, drüber nachzudenken, ob mit h wirklich die Höhe gemeint sei…

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo Tabellenkalk,

wenn du wenigstens noch verraten würdest, was du unter m verstehst,

m ist die Mittelparallele.

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

m ist die Mittelparallele.

Gehn zwei Ostfriesen aufm Deich, meint der eine: „Du, lass mich jetz auch mal in der Mitte gehn!“

Gruß
Kalk

[Der Martin]

n'Abend Matthias,

Nach allgemeinem Verständnis ist ein Drachenviereck symmetrisch, das heißt eine Diagonale halbiert die andere und die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

daraus folgt auch, dass dann alle vier Seiten gleich lang sind. Das ist eine Raute.

Ein Drachenviereck hat zwar aufeinander senkrecht stehende Diagonalen, aber ihr Schnittpunkt halbiert nur eine von beiden. Die Raute ist ein Sonderfall des Drachenvierecks.

So long,
 Martin

[Tabellenkalk]

Hallo,

Nach allgemeinem Verständnis ist ein Drachenviereck symmetrisch, das heißt eine Diagonale halbiert die andere und die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

daraus folgt auch, dass dann alle vier Seiten gleich lang sind. Das ist eine Raute.

Matthias schrieb nicht "(jeweils) eine Diagonale halbiert die (jeweils) andere", sondern "eine (der beiden) Diagonalen halbiert die andere".

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo Tabellenkalk,

das heißt eine Diagonale halbiert die andere

Matthias schrieb nicht "(jeweils) eine Diagonale halbiert die (jeweils) andere", sondern "eine (der beiden) Diagonalen halbiert die andere".

In dem Fall hätte ich kürzer geschrieben: "Die Diagonalen halbieren einander." 😜

Bis demnächst
Matthias

[Linuchs]

Die Raute ist ein Sonderfall des Drachenvierecks.

So wie der Komodowaran ein Sonderfall der Drachen ist.

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Nach allgemeinem Verständnis ist ein Drachenviereck symmetrisch, das heißt eine Diagonale halbiert die andere und die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Ein Viereck, welches nur eine dieser beiden Eigenschaften besitzt, wird häufig auch als Drachenviereck bezeichnet.

Du hast einen Drachen für mich gebaut
Was’n das für’n Drache?
Hast du ihn dir auch angeschaut?
Dass ich nicht lache!
—Sebastian Krämer

Mein Lieblingsherbstlied 🤣

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Du hast einen Drachen für mich gebaut
Was’n das für’n Drache?
Hast du ihn dir auch angeschaut?
Dass ich nicht lache!
—Sebastian Krämer

Mein Lieblingsherbstlied 🤣

Der Anfang eines schönen Wochenendes.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Hier gab es Lösungen von @Gunnar Bittersmann, @Rolf B und @ottogal. Kurz und knackig von @ottogal

Meine Lösung ist noch ein bisschen kürzer: Die Diagonalen des Mittenvierecks^[1] des Trapezes sind h und m. Deshalb ist das Mittenviereck ein Quadrat und die Trapezdiagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Bis demnächst
Matthias

---

1. Das Mittenviereck eines beliebigen Vierecks ist ein Parallelogramm, dessen Seiten jeweils parallel zu einer der Diagonalen des Vierecks sind (Satz von Varignon). ↩︎

[ottogal]

Hallo Matthias Apsel,

Meine Lösung ist noch ein bisschen kürzer ...

...(Satz von Varignon).

Man kann freilich leicht noch kürzer sein, wenn man sich auf einen Satz bezieht, den man normaler Weise nicht einfach so zur Hand hat.

Deshalb hier noch meine kurze (und "knackige") Lösung:

Verbindet man die vier Mittelpunkte der Trapezseiten zu einem Viereck, so erhält man eine Raute. Denn jede seiner Seiten ist parallel zu einer Trapezdiagonalen (als Verbindung zweier Seitenmitten eines Dreiecks); also hat man ein Parallelogramm, das wegen der vorausgesetzten Symmetrie sogar Raute ist.

Die Strecken h und m sind die Diagonalen dieser Raute. Bei der Voraussetzung h = m folgt: Die Raute ist ein Quadrat. Die Diagonalen des Trapezes sind parallel zu jeweils einer Quadratseite, stehen also senkrecht aufeinander.

Viele Grüße
ottogal

[Matthias Apsel]

Hallo ottogal,

...(Satz von Varignon).

Man kann freilich leicht noch kürzer sein, wenn man sich auf einen Satz bezieht, den man normaler Weise nicht einfach so zur Hand hat.

Das stimmt. Der Satz von Varignon sollte jedoch, wenn auch nicht unter diesem Namen, aus der Schule bekannt sein.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Wir bezeichnen das Trapez mit den Eckpunkten ABCD, den Diagonalenschnittpunkt mit S, die parallen Seiten mit a resp. c, die Höhe des Trapezes mit h. Die Höhe des Dreiecks ABS sei y.

Es gilt: $$A_{blau} = ah - 2A_{ABS}$$ (die beiden blauen Dreiecke sind übrigens in jedem Trapez flächengleich)

Wegen der geforderten Flächengleichheit ist $$3A_{lila} = ah$$ also

$$A_{ABS} = \frac{1}{3}ah$$

Die Dreiecke ABS und CDS sind ähnlich. Aus
$$\frac{y}{h-y}=\frac{a}{c}$$ folgt $$y=\frac{a}{a+c}h$$ und mithin

$$A_{ABS} = \frac{1}{2} \frac{a^2}{a+c} h$$

Wir haben also zwei Gleichungen für den Flächeninhalt des lila Dreiecks.
Gleichsetzen ergibt a = 2c.

Gefärbt sind $$\frac{2}{3}ah$$, die Gesamtfläche des Trapezes ist $$\frac{3}{4}ah$$, somit sind $$\frac{8}{9}$$ des Trapezes gefärbt.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

Es gilt: $$A_{blau} = ah - 2A_{ABS}$$

Scheint so zu sein, aber warum? Ist das ein Lehrsatz??

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Es gilt: $$A_{blau} = ah - 2A_{ABS}$$

Scheint so zu sein, aber warum?

2 Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe: $$2 * 1/2 * g * h$$
Davon 2mal die Schnittfläche abziehen.

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

autsch. Und ich habe $$ah$$ automatisch mit dem Rechteck assoziiert, das auf der Grundseite des Trapezes aufsetzt.

Dabei habe ich die gleiche Überlegung doch zwischendurch in meinen eigenen Rechnungen verwendet.

Leise rieselt der Kalk...
(und nicht der Tabellenkalk)

Rolf

[ottogal]

Hallo Matthias,

kürzer und knackiger 😉 :

Ein hellblaues Dreieck ist halb so groß wie das dunkle. Bei zwei Dreiecken mit gleicher Höhe verhalten sich aber die Grundseiten wie die Flächen; daher schneiden sich die Diagonalen im Verhältnis 1:2. Folglich ist das weiße Dreieck halb so groß wie ein hellblaues (umgekehrtes Argument). Die Flächen der vier Teildreiecke verhalten sich also wie 1:2:2:4. Somit sind 8/9 der Trapezfläche schraffiert.

[Matthias Apsel]

Hallo ottogal,

kürzer und knackiger 😉 :

Ein hellblaues Dreieck ist halb so groß wie das dunkle.

Jetzt ist es an mir zu fragen, warum?

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Hallo ottogal,

kürzer und knackiger 😉 :

Ein hellblaues Dreieck ist halb so groß wie das dunkle.

Jetzt ist es an mir zu fragen, warum?

Ach ja, weil sie (die hellblauen) beide gleichgroß sind – in jedem Trapez. Wenn man sich auf einen Satz bezieht … 😂

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

Wegen der geforderten Flächengleichheit ist $$3A_{lila} = ah$$

Hier kann ich grad nicht folgen.

also

$$A_{ABS} = \frac{1}{3}ah$$

Wie kommt hier der Dreieckstausch zustande?

Gruß
Kalk

Edith flüstert: wenn a die untere Seite wäre, ists gar kein Tausch.

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

lila und blau ist doch als gleich vorausgesetzt

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

lila und blau ist doch als gleich vorausgesetzt

Und wie kommt man von dieser Voraussetzung auf $$3A_{farbton}=ah$$?

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo Tabellenkalk,

Edith flüstert: wenn a die untere Seite wäre, ists gar kein Tausch.

Sie flüstert richtig. ABS ist doch das lilafarbene Dreieck.

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

ABS ist doch das lilafarbene Dreieck.

Aha! Das ist der Fehler: Du hast die Bezeichnungen völlig anders als ich! 😉

Gruß
Kalk

Edith erklärt: ABS war bei mir das weiße Dreieck