Mathematik zum Wochenende - Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Wir bezeichnen das Trapez mit den Eckpunkten ABCD, den Diagonalenschnittpunkt mit S, die parallen Seiten mit a resp. c, die Höhe des Trapezes mit h. Die Höhe des Dreiecks ABS sei y.

Es gilt: $$A_{blau} = ah - 2A_{ABS}$$ (die beiden blauen Dreiecke sind übrigens in jedem Trapez flächengleich)

Wegen der geforderten Flächengleichheit ist $$3A_{lila} = ah$$ also

$$A_{ABS} = \frac{1}{3}ah$$

Die Dreiecke ABS und CDS sind ähnlich. Aus
$$\frac{y}{h-y}=\frac{a}{c}$$ folgt $$y=\frac{a}{a+c}h$$ und mithin

$$A_{ABS} = \frac{1}{2} \frac{a^2}{a+c} h$$

Wir haben also zwei Gleichungen für den Flächeninhalt des lila Dreiecks.
Gleichsetzen ergibt a = 2c.

Gefärbt sind $$\frac{2}{3}ah$$, die Gesamtfläche des Trapezes ist $$\frac{3}{4}ah$$, somit sind $$\frac{8}{9}$$ des Trapezes gefärbt.

Bis demnächst
Matthias