Gunnar Bittersmann: Mathematik zum Wochenende

Die blau (hell) schraffierte Fläche ist gleichgroß wie die lila (dunkel) schraffierte. Welcher Anteil der Trapezfläche ist schraffiert?

LLAP 🖖

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„Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
„Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

—Marc-Uwe Kling
  1. Zusatzaufgabe:

    Unter den Trapezen, die o. g. Forderung erfüllen, gibt es auch gleichschenklige.
    Man widerlege oder beweise: Wenn für ein solches Trapez h = m gilt, schneiden sich die Diagonalen senkrecht. (In der Lesart mancher Mathematik-Hardcore-Systematiker ist es somit ein [allgemeines] Drachenviereck[1])

    Bis demnächst
    Matthias

    --
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    1. Nach allgemeinem Verständnis ist ein Drachenviereck symmetrisch, das heißt eine Diagonale halbiert die andere und die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Ein Viereck, welches nur eine dieser beiden Eigenschaften besitzt, wird häufig auch als Drachenviereck bezeichnet. ↩︎

    1. Hallo,

      Wenn für ein solches Trapez h = m gilt,

      wenn du wenigstens noch verraten würdest, was du unter m verstehst, könnte man ja mal versuchen, drüber nachzudenken, ob mit h wirklich die Höhe gemeint sei…

      Gruß
      Kalk

      1. Hallo Tabellenkalk,

        wenn du wenigstens noch verraten würdest, was du unter m verstehst,

        m ist die Mittelparallele.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
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        1. Hallo,

          m ist die Mittelparallele.

          Gehn zwei Ostfriesen aufm Deich, meint der eine: „Du, lass mich jetz auch mal in der Mitte gehn!“

          Gruß
          Kalk

    2. n'Abend Matthias,

      Nach allgemeinem Verständnis ist ein Drachenviereck symmetrisch, das heißt eine Diagonale halbiert die andere und die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

      daraus folgt auch, dass dann alle vier Seiten gleich lang sind. Das ist eine Raute.

      Ein Drachenviereck hat zwar aufeinander senkrecht stehende Diagonalen, aber ihr Schnittpunkt halbiert nur eine von beiden. Die Raute ist ein Sonderfall des Drachenvierecks.

      So long,
       Martin

      --
      Wenn Albert albert, ruht Ruth. Aber wenn Albert ruht, albert Ruth.
      1. Hallo,

        Nach allgemeinem Verständnis ist ein Drachenviereck symmetrisch, das heißt eine Diagonale halbiert die andere und die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

        daraus folgt auch, dass dann alle vier Seiten gleich lang sind. Das ist eine Raute.

        Matthias schrieb nicht "(jeweils) eine Diagonale halbiert die (jeweils) andere", sondern "eine (der beiden) Diagonalen halbiert die andere".

        Gruß
        Kalk

        1. Hallo Tabellenkalk,

          das heißt eine Diagonale halbiert die andere

          Matthias schrieb nicht "(jeweils) eine Diagonale halbiert die (jeweils) andere", sondern "eine (der beiden) Diagonalen halbiert die andere".

          In dem Fall hätte ich kürzer geschrieben: "Die Diagonalen halbieren einander." 😜

          Bis demnächst
          Matthias

          --
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      2. Die Raute ist ein Sonderfall des Drachenvierecks.

        So wie der Komodowaran ein Sonderfall der Drachen ist.

    3. @@Matthias Apsel

      Nach allgemeinem Verständnis ist ein Drachenviereck symmetrisch, das heißt eine Diagonale halbiert die andere und die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Ein Viereck, welches nur eine dieser beiden Eigenschaften besitzt, wird häufig auch als Drachenviereck bezeichnet.

      Du hast einen Drachen für mich gebaut
      Was’n das für’n Drache?
      Hast du ihn dir auch angeschaut?
      Dass ich nicht lache!

      —Sebastian Krämer

      Mein Lieblingsherbstlied 🤣

      LLAP 🖖

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      „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
      „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

      —Marc-Uwe Kling
      1. Hallo Gunnar Bittersmann,

        Du hast einen Drachen für mich gebaut
        Was’n das für’n Drache?
        Hast du ihn dir auch angeschaut?
        Dass ich nicht lache!

        —Sebastian Krämer

        Mein Lieblingsherbstlied 🤣

        Der Anfang eines schönen Wochenendes.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
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    4. Hallo Matthias Apsel,

      Hier gab es Lösungen von @Gunnar Bittersmann, @Rolf B und @ottogal. Kurz und knackig von @ottogal

      Meine Lösung ist noch ein bisschen kürzer: Die Diagonalen des Mittenvierecks[1] des Trapezes sind h und m. Deshalb ist das Mittenviereck ein Quadrat und die Trapezdiagonalen stehen senkrecht aufeinander.

      Bis demnächst
      Matthias

      --
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      1. Das Mittenviereck eines beliebigen Vierecks ist ein Parallelogramm, dessen Seiten jeweils parallel zu einer der Diagonalen des Vierecks sind (Satz von Varignon). ↩︎

      1. Hallo Matthias Apsel,

        Meine Lösung ist noch ein bisschen kürzer ...

        ...(Satz von Varignon).

        Man kann freilich leicht noch kürzer sein, wenn man sich auf einen Satz bezieht, den man normaler Weise nicht einfach so zur Hand hat.

        Deshalb hier noch meine kurze (und "knackige") Lösung:

        Verbindet man die vier Mittelpunkte der Trapezseiten zu einem Viereck, so erhält man eine Raute. Denn jede seiner Seiten ist parallel zu einer Trapezdiagonalen (als Verbindung zweier Seitenmitten eines Dreiecks); also hat man ein Parallelogramm, das wegen der vorausgesetzten Symmetrie sogar Raute ist.

        Die Strecken h und m sind die Diagonalen dieser Raute. Bei der Voraussetzung h = m folgt: Die Raute ist ein Quadrat. Die Diagonalen des Trapezes sind parallel zu jeweils einer Quadratseite, stehen also senkrecht aufeinander.

        Viele Grüße
        ottogal

        1. Hallo ottogal,

          ...(Satz von Varignon).

          Man kann freilich leicht noch kürzer sein, wenn man sich auf einen Satz bezieht, den man normaler Weise nicht einfach so zur Hand hat.

          Das stimmt. Der Satz von Varignon sollte jedoch, wenn auch nicht unter diesem Namen, aus der Schule bekannt sein.

          Bis demnächst
          Matthias

          --
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  2. Hallo Gunnar Bittersmann,

    Wir bezeichnen das Trapez mit den Eckpunkten ABCD, den Diagonalenschnittpunkt mit S, die parallen Seiten mit a resp. c, die Höhe des Trapezes mit h. Die Höhe des Dreiecks ABS sei y.

    Es gilt: $$A_{blau} = ah - 2A_{ABS}$$ (die beiden blauen Dreiecke sind übrigens in jedem Trapez flächengleich)

    Wegen der geforderten Flächengleichheit ist $$3A_{lila} = ah$$ also

    $$A_{ABS} = \frac{1}{3}ah$$

    Die Dreiecke ABS und CDS sind ähnlich. Aus
    $$\frac{y}{h-y}=\frac{a}{c}$$ folgt $$y=\frac{a}{a+c}h$$ und mithin

    $$A_{ABS} = \frac{1}{2} \frac{a^2}{a+c} h$$

    Wir haben also zwei Gleichungen für den Flächeninhalt des lila Dreiecks.
    Gleichsetzen ergibt a = 2c.

    Gefärbt sind $$\frac{2}{3}ah$$, die Gesamtfläche des Trapezes ist $$\frac{3}{4}ah$$, somit sind $$\frac{8}{9}$$ des Trapezes gefärbt.

    Bis demnächst
    Matthias

    --
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    1. Hallo Matthias,

      Es gilt: $$A_{blau} = ah - 2A_{ABS}$$

      Scheint so zu sein, aber warum? Ist das ein Lehrsatz??

      Rolf

      --
      sumpsi - posui - clusi
      1. Hallo,

        Es gilt: $$A_{blau} = ah - 2A_{ABS}$$

        Scheint so zu sein, aber warum?

        2 Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe: $$2 * 1/2 * g * h$$
        Davon 2mal die Schnittfläche abziehen.

        Gruß
        Kalk

        1. Hallo Tabellenkalk,

          autsch. Und ich habe $$ah$$ automatisch mit dem Rechteck assoziiert, das auf der Grundseite des Trapezes aufsetzt.

          Dabei habe ich die gleiche Überlegung doch zwischendurch in meinen eigenen Rechnungen verwendet.

          Leise rieselt der Kalk...
          (und nicht der Tabellenkalk)

          Rolf

          --
          sumpsi - posui - clusi
    2. Hallo Matthias,

      kürzer und knackiger 😉 :

      Ein hellblaues Dreieck ist halb so groß wie das dunkle. Bei zwei Dreiecken mit gleicher Höhe verhalten sich aber die Grundseiten wie die Flächen; daher schneiden sich die Diagonalen im Verhältnis 1:2. Folglich ist das weiße Dreieck halb so groß wie ein hellblaues (umgekehrtes Argument). Die Flächen der vier Teildreiecke verhalten sich also wie 1:2:2:4. Somit sind 8/9 der Trapezfläche schraffiert.

      1. Hallo ottogal,

        kürzer und knackiger 😉 :

        Ein hellblaues Dreieck ist halb so groß wie das dunkle.

        Jetzt ist es an mir zu fragen, warum?

        Bis demnächst
        Matthias

        --
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        1. Hallo Matthias Apsel,

          Hallo ottogal,

          kürzer und knackiger 😉 :

          Ein hellblaues Dreieck ist halb so groß wie das dunkle.

          Jetzt ist es an mir zu fragen, warum?

          Ach ja, weil sie (die hellblauen) beide gleichgroß sind – in jedem Trapez. Wenn man sich auf einen Satz bezieht … 😂

          Bis demnächst
          Matthias

          --
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    3. Hallo,

      Wegen der geforderten Flächengleichheit ist $$3A_{lila} = ah$$

      Hier kann ich grad nicht folgen.

      also

      $$A_{ABS} = \frac{1}{3}ah$$

      Wie kommt hier der Dreieckstausch zustande?

      Gruß
      Kalk

      Edith flüstert: wenn a die untere Seite wäre, ists gar kein Tausch.

      1. Hallo Tabellenkalk,

        lila und blau ist doch als gleich vorausgesetzt

        Rolf

        --
        sumpsi - posui - clusi
        1. Hallo,

          lila und blau ist doch als gleich vorausgesetzt

          Und wie kommt man von dieser Voraussetzung auf $$3A_{farbton}=ah$$?

          Gruß
          Kalk

      2. Hallo Tabellenkalk,

        Edith flüstert: wenn a die untere Seite wäre, ists gar kein Tausch.

        Sie flüstert richtig. ABS ist doch das lilafarbene Dreieck.

        Bis demnächst
        Matthias

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        1. Hallo,

          ABS ist doch das lilafarbene Dreieck.

          Aha! Das ist der Fehler: Du hast die Bezeichnungen völlig anders als ich! 😉

          Gruß
          Kalk

          Edith erklärt: ABS war bei mir das weiße Dreieck