@@Gunnar Bittersmann > Du hast einen weißen, einen roten, einen grünen und einen blauen Würfel. Wenn du mit allen vieren würfelst, gibt es 56 verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe ihrer Augenzahlen 9 ist. Nur eine einzige andere Zahl hat ebenfalls 56 Möglichkeiten, als Summe erwürfelt zu werden. Welche? „*Klingt nach einer Aufgabe für Excel“*, meinte @Rolf B, konnte sich aber doch noch bremsen. Es hat niemand wüst losgerechent, sondern wie @encoder sagte: *„Gehen wir das mal rein durch überlegen an.“* @Matthias Apsel hat da nicht lang überlegt: *„aus Symmetriegründen würde ich auf die 19 tippen.“* Auch @MudGuard wies darauf hin: *„Die Häufigkeiten sind symmetrisch verteilt.“* @Tabellenkalk führte weiter aus: *„Würfelsummen werden sehr schön durch Gaußsche Glockenkurven visualisiert, die bekanntlich symmetrisch sind.“* Nun ja, bei einem Würfel hat man Gleichverteilung von ⚀ bis ⚅, also eine horizontale Gerade; bei zwei Würfeln ein Dreieck[^1] – beides aber auch symmetrisch. Je mehr Würfel man hat, desto mehr nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an. [^1]: Ja ja, man hat diskrete Punkte. Aber wenn man die verbindet … Ich also: *„Da brauchst du aber viele Würfel.“* Worauf beinhart zurückkam: *„Gibts: <https://m.youtube.com/watch?v=9Emh1woURsg>“* 🤣 YMMD. @Rolf B hat also auch noch die Kurve gekriegt und keine excellente Lösung angestrebt, sondern: *„Die Häufigkeitsverteilungen der Summen von N Würfeln sind symmetrisch. (Der mittlere Wert ist|Die beiden mittleren Werte sind) am häufigsten, für die Randwerte gibt's je nur eine Möglichkeit. Mit 4 Würfeln wirft man minimal 4 und maximal 24 Augen. Abstand der 9 von unten: 9 − 4 = 5 Gleichen Abstand von oben hat 24 − 5 = 19 Also, ohne tiefer nachgedacht zu haben, sollte die 19 die gleiche Häufigkeit wie die 9 haben.“* Das war doch tief genug, oder? Wenngleich niemand einen mathematischen Beweis für die Symmetrie der Verteilung geführt hat. @ottogal hatte einen solchen gar nicht nötig, sondern ging über die Kehrseiten der Würfel: *„Seien a, b, c, d die Augenzahlen der vier Würfel. Dreht man jeden der vier Würfel auf den Kopf, so wird aus der Augensumme a + b + c + d die Augensumme (7 − a) + (7 − b) + (7 − c) + (7 − d) = 28 − (a + b + c + d). Somit gibt es für die Augensumme 28 − 9 = 19 gleichviele Möglichkeiten wie für die Augensumme 9. (Dass es 56 Möglichkeiten sind, muss man dazu nicht heranziehen.)“* Chapeau! *You and me and lady luck well tonight We’ll be celebrating Drinkin’ champagne on ice In just another roll of the dice*{:@en} —Bruce Springsteen, 🎶 [Roll of the Dice](https://www.youtube.com/watch?v=i579H_kre8A){:@en} 🎲🎲 🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! **Stay home!** {:@en} PS: Ein Minus gibt’s für falsche Minuszeichen. Dabei macht’s die Forumsoftware doch so einfach, ein Zeichen zu setzen: [](/images/87aeb4b2-d6e5-11ea-94f9-b42e9947ef30.png) -- *“Turn off CSS. If the page makes no sense, fix your markup.”* —fantasai {:@en}

@@Gunnar Bittersmann > Du hast einen weißen, einen roten, einen grünen und einen blauen Würfel. Wenn du mit allen vieren würfelst, gibt es 56 verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe ihrer Augenzahlen 9 ist. Nur eine einzige andere Zahl hat ebenfalls 56 Möglichkeiten, als Summe erwürfelt zu werden. Welche? „*Klingt nach einer Aufgabe für Excel“*, meinte @Rolf B, konnte sich aber doch noch bremsen. Es hat niemand wüst losgerechent, sondern wie @encoder sagte: *„Gehen wir das mal rein durch überlegen an.“* @Matthias Apsel hat da nicht lang überlegt: *„aus Symmetriegründen würde ich auf die 19 tippen.“* Auch @MudGuard wies darauf hin: *„Die Häufigkeiten sind symmetrisch verteilt.“* @Tabellenkalk führte weiter aus: *„Würfelsummen werden sehr schön durch Gaußsche Glockenkurven visualisiert, die bekanntlich symmetrisch sind.“* Nun ja, bei einem Würfel hat man Gleichverteilung von ⚀ bis ⚅, also eine horizontale Gerade; bei zwei Würfeln ein Dreieck[^1] – beides aber auch symmetrisch. Je mehr Würfel man hat, desto mehr nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an. [^1]: Ja ja, man hat diskrete Punkte. Aber wenn man die verbindet … Ich also: *„Da brauchst du aber viele Würfel.“* Worauf beinhart zurückkam: *„Gibts: <https://m.youtube.com/watch?v=9Emh1woURsg>“* 🤣 YMMD. @Rolf B hat also auch noch die Kurve gekriegt und excellente Lösung angestrebt, sondern: *„Die Häufigkeitsverteilungen der Summen von N Würfeln sind symmetrisch. (Der mittlere Wert ist|Die beiden mittleren Werte sind) am häufigsten, für die Randwerte gibt's je nur eine Möglichkeit. Mit 4 Würfeln wirft man minimal 4 und maximal 24 Augen. Abstand der 9 von unten: 9 − 4 = 5 Gleichen Abstand von oben hat 24 − 5 = 19 Also, ohne tiefer nachgedacht zu haben, sollte die 19 die gleiche Häufigkeit wie die 9 haben.“* Das war doch tief genug, oder? Wenngleich niemand einen mathematischen Beweis für die Symmetrie der Verteilung geführt hat. @ottogal hatte einen solchen gar nicht nötig, sondern ging über die Kehrseiten der Würfel: *„Seien a, b, c, d die Augenzahlen der vier Würfel. Dreht man jeden der vier Würfel auf den Kopf, so wird aus der Augensumme a + b + c + d die Augensumme (7 − a) + (7 − b) + (7 − c) + (7 − d) = 28 − (a + b + c + d). Somit gibt es für die Augensumme 28 − 9 = 19 gleichviele Möglichkeiten wie für die Augensumme 9. (Dass es 56 Möglichkeiten sind, muss man dazu nicht heranziehen.)“* Chapeau! *You and me and lady luck well tonight We’ll be celebrating Drinkin’ champagne on ice In just another roll of the dice*{:@en} —Bruce Springsteen, 🎶 [Roll of the Dice](https://www.youtube.com/watch?v=i579H_kre8A){:@en} 🎲🎲 🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! **Stay home!** {:@en} PS: Ein Minus gibt’s für falsche Minuszeichen. Dabei macht’s die Forumsoftware doch so einfach, ein Zeichen zu setzen: [](/images/87aeb4b2-d6e5-11ea-94f9-b42e9947ef30.png) -- *“Turn off CSS. If the page makes no sense, fix your markup.”* —fantasai {:@en}

@@Gunnar Bittersmann > Du hast einen weißen, einen roten, einen grünen und einen blauen Würfel. Wenn du mit allen vieren würfelst, gibt es 56 verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe ihrer Augenzahlen 9 ist. Nur eine einzige andere Zahl hat ebenfalls 56 Möglichkeiten, als Summe erwürfelt zu werden. Welche? „*Klingt nach einer Aufgabe für Excel“*, meinte @Rolf B, konnte sich aber doch noch bremsen. Es hat niemand wüst losgerechent, sondern wie @encoder sagte: *„Gehen wir das mal rein durch überlegen an.“* @Matthias Apsel hat da nicht lang überlegt: *„aus Symmetriegründen würde ich auf die 19 tippen.“* Auch @MudGuard wies darauf hin: *„Die Häufigkeiten sind symmetrisch verteilt.“* @Tabellenkalk führte weiter aus: *„Würfelsummen werden sehr schön durch Gaußsche Glockenkurven visualisiert, die bekanntlich symmetrisch sind.“* Nun ja, bei einem Würfel hat man Gleichverteilung von ⚀ bis ⚅, also eine horizontale Gerade; bei zwei Würfeln ein Dreieck[^1] – beides aber auch symmetrisch. Je mehr Würfel man hat, desto mehr nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an. [^1]: Ja ja, man hat diskrete Punkte. Aber wenn man die verbindet … Ich also: *„Da brauchst du aber viele Würfel.“* Worauf beinhart zurückkam: *„Gibts: <https://m.youtube.com/watch?v=9Emh1woURsg>“* 🤣 YMMD. @Rolf B hat also auch noch die Kurve gekriegt und excellente Lösung angestrebt, sondern: *„Die Häufigkeitsverteilungen der Summen von N Würfeln sind symmetrisch. (Der mittlere Wert ist|Die beiden mittleren Werte sind) am häufigsten, für die Randwerte gibt's je nur eine Möglichkeit. Mit 4 Würfeln wirft man minimal 4 und maximal 24 Augen. Abstand der 9 von unten: 9 − 4 = 5 Gleichen Abstand von oben hat 24 − 5 = 19 Also, ohne tiefer nachgedacht zu haben, sollte die 19 die gleiche Häufigkeit wie die 9 haben.“* Das war doch tief genug, oder? Wenngleich niemand einen mathematischen Beweis für die Symmetrie der Verteilung geführt hat. @ottogal hatte einen solchen gar nicht nötig, sondern ging über die Kehrseiten der Würfel: *„Seien a, b, c, d die Augenzahlen der vier Würfel. Dreht man jeden der vier Würfel auf den Kopf, so wird aus der Augensumme a + b + c + d die Augensumme (7 − a) + (7 − b) + (7 − c) + (7 − d) = 28 − (a + b + c + d). Somit gibt es für die Augensumme 28 − 9 = 19 gleichviele Möglichkeiten wie für die Augensumme 9. (Dass es 56 Möglichkeiten sind, muss man dazu nicht heranziehen.)“* Chapeau! *You and me and lady luck well tonight We’ll be celebrating Drinkin’ champagne on ice In just another roll of the dice*{:@en} —Bruce Springsteen, 🎶 [Roll of the Dice](https://www.youtube.com/watch?v=i579H_kre8A){:@en} 🎲🎲 🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! **Stay home!** {:@en} PS: Ein Minus gibt’s für falsche Minuszeichen. Dabei macht’s die Forumsoftware doch so einfach, ein Zeichen zu setzen: [](/images/87aeb4b2-d6e5-11ea-94f9-b42e9947ef30.png) -- *“Turn off CSS. If the page makes no sense, fix your markup.”* —fantasai {:@en}