Mathematik zum Wochenanfang

[Gunnar Bittersmann]

Du hast einen weißen, einen roten, einen grünen und einen blauen Würfel. Wenn du mit allen vieren würfelst, gibt es 56 verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe ihrer Augenzahlen 9 ist. Nur eine einzige andere Zahl hat ebenfalls 56 Möglichkeiten, als Summe erwürfelt zu werden. Welche?

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Tabellenkalk]

Hallo,

Du hast einen weißen, einen roten, einen grünen und einen blauen Würfel.

Rückfrage: Es handelt sich um 4 sechseitige Würfel?

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Rückfrage: Es handelt sich um 4 sechseitige Würfel?

Sieht so aus.

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Du hast einen weißen, einen roten, einen grünen und einen blauen Würfel. Wenn du mit allen vieren würfelst, gibt es 56 verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe ihrer Augenzahlen 9 ist. Nur eine einzige andere Zahl hat ebenfalls 56 Möglichkeiten, als Summe erwürfelt zu werden. Welche?

„Klingt nach einer Aufgabe für Excel“, meinte @Rolf B, konnte sich aber doch noch bremsen. Es hat niemand wüst losgerechent, sondern wie @encoder sagte: „Gehen wir das mal rein durch überlegen an.“

@Matthias Apsel hat da nicht lang überlegt: „aus Symmetriegründen würde ich auf die 19 tippen.“ Auch @MudGuard wies darauf hin: „Die Häufigkeiten sind symmetrisch verteilt.“

@Tabellenkalk führte weiter aus: „Würfelsummen werden sehr schön durch Gaußsche Glockenkurven visualisiert, die bekanntlich symmetrisch sind.“ Nun ja, bei einem Würfel hat man Gleichverteilung von ⚀ bis ⚅, also eine horizontale Gerade; bei zwei Würfeln ein Dreieck^[1] – beides aber auch symmetrisch. Je mehr Würfel man hat, desto mehr nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an.

Ich also: „Da brauchst du aber viele Würfel.“
Worauf beinhart zurückkam: „Gibts: https://m.youtube.com/watch?v=9Emh1woURsg“ 🤣 YMMD.

@Rolf B hat also auch noch die Kurve gekriegt und keine excellente Lösung angestrebt, sondern: „Die Häufigkeitsverteilungen der Summen von N Würfeln sind symmetrisch. (Der mittlere Wert ist|Die beiden mittleren Werte sind) am häufigsten, für die Randwerte gibt's je nur eine Möglichkeit.
Mit 4 Würfeln wirft man minimal 4 und maximal 24 Augen.
Abstand der 9 von unten: 9 − 4 = 5
Gleichen Abstand von oben hat 24 − 5 = 19
Also, ohne tiefer nachgedacht zu haben, sollte die 19 die gleiche Häufigkeit wie die 9 haben.“

Das war doch tief genug, oder? Wenngleich niemand einen mathematischen Beweis für die Symmetrie der Verteilung geführt hat.

@ottogal hatte einen solchen gar nicht nötig, sondern ging über die Kehrseiten der Würfel: „Seien a, b, c, d die Augenzahlen der vier Würfel. Dreht man jeden der vier Würfel auf den Kopf, so wird aus der Augensumme a + b + c + d die Augensumme (7 − a) + (7 − b) + (7 − c) + (7 − d) = 28 − (a + b + c + d). Somit gibt es für die Augensumme 28 − 9 = 19 gleichviele Möglichkeiten wie für die Augensumme 9. (Dass es 56 Möglichkeiten sind, muss man dazu nicht heranziehen.)“

Chapeau!

You and me and lady luck well tonight
We’ll be celebrating
Drinkin’ champagne on ice
In just another roll of the dice
—Bruce Springsteen, 🎶 Roll of the Dice 🎲🎲

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!

PS: Ein Minus gibt’s für falsche Minuszeichen. Dabei macht’s die Forumsoftware doch so einfach, ein Zeichen zu setzen:

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1. Ja ja, man hat diskrete Punkte. Aber wenn man die verbindet … ↩︎

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

@ottogal hatte einen solchen gar nicht nötig, sondern ging über die Kehrseiten der Würfel: *„Seien a, b, c, d die Augenzahlen der vier Würfel. Dreht man jeden der vier Würfel auf den Kopf, so wird aus der Augensumme a + b + c + d die Augensumme (7 − a) + (7 − b) + (7 − c) + (7 − d) = 28 − (a + b + c + d). Somit gibt es für die Augensumme 28 − 9 = 19 gleichviele Möglichkeiten wie für die Augensumme 9. (Dass es 56 Möglichkeiten sind, muss man dazu nicht heranziehen.)“

Die Verteilung der Augensumme ist unabhängig von der Platzierung der Augenzahlen auf den Würfeln.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Die Verteilung der Augensumme ist unabhängig von der Platzierung der Augenzahlen auf den Würfeln.

Ja, aber bei einem Würfel, bei dem sich gegenüberliegende Augenzahlen nicht zu 7 ergänzen, kann man auch nicht sicher sein, dass er die Zahlen von ⚀ bis ⚅ (jede genau einmal) auf den Flächen hat. Gezinkte Würfel sollten hier nicht betrachtet werden. 😜

🖖 Stay hard! Stay hungry! Stay alive! Stay home!